(1.12)
其中
η
i k 1
η e
i k

tk
i
[ED]σ k
(i 0,1, 2,
, n)
(1.13)
ηi0 [0 0 0 0 0 0]T
(1.14)
分别由 (1.8)和 (1.12) 式分别计算，并代入式(1.7) 即可得到总应变 增量，有效应力由弹性部分(1.8) 求得，即
ε(tk 1 ) ε(tk 1 ) ε(tk ) εe (tk 1 ) εc (tk 1 )
其中 弹性应变增量为
(1.7)
εe k 1 J 0 [ED]σ k 1
蠕变应变增量为
(1.8)
ε
c k 1
ε
c k 1
ε [ED] J tk 1 t j J tk t j σ j
共 m 个子区间，步长为 hk tk tk 1 时间段，假设每一时间步内的应力 呈线性变化，在时间步长 hk 足够小时，可得到 tk 时刻式(1.5)所示的本 构离散形式为
c εe k ε k [ED] J tk t j σ j j 1
k
(1.6)
其中 σ k σ k σ k 1 则在 tk ,tk 1 时间区间内，总的应变增量为
c σk 1 E0 [ED]1 ( εk 1 εk 1 )
(1.15)
只要求得蠕变应变增量 εc ，就容易实现应力更新。 k 1
3. jacobian 矩阵
根据第 k 时间步的增量型本构方程， 知第 k+1 步内需要更新的雅 克比矩阵为
[σ / ε]k 1 i / j
即为弹性刚度 D，不变化。
k 1
E0 [ED]1
(1.16)Leabharlann (1.11)上式不利于有限元分析， 因为需要每一分析步都需要记录全部的 历史，从而要较大存储空间，下面将其改写成递推形式。 则蠕变应变增量 εc k 1 的递推公式为
ε
c k 1 t k 1 η J 1 e i i 1 n i k 1 i
ε(t ) ε c εe [ED] J t

t
σ( ) d
(1.5)
2. 本构方程的增量形式
对于非线性材料本构的分析，一般采用增量法，需进一步推导适 合有限元计算的增量型本构方程。
t1 ,t2 ， t m 1 ,t m tk 1,tk ， t 0 ,t1 ， 将分析时间区间 0, t 划分为 …， …，
c k j 1
k
(1.9)
根据蠕变柔量的 Prony 级数形式
t i J (t ) J 0 J i 1 e i 1 n

(1.10)
将式(1.10)代入式(1.9)，有
ε
c k 1
tk t j t k 1 n i i [ED] J i e (1 e ) σ j j 1 i 1 k
1 [ED] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 0 0
T
2(1 ) 0 0 2(1 )
(1.4)
将总应变表示成弹性应变与蠕变应变之和
蠕变型线粘弹性本构方程
1. 本构方程形式
蠕变型粘弹性本构方程的矩阵形式为
ε(t ) [ED] J t

t
σ( ) d
(1.1)
其中
σ t 11 22 33 12 23 31
T
(1.2) (1.3)
0 0 0 0
ε t 11 22 33 12 23 31