范钦珊教育教学工作
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工程力学(2)学习指导
（第28章）
2003-7-1
第五篇工程力学专题
第28章
聚合物的粘弹性行为
高分子材料，又称聚合物是由各类单体分子通过聚合反应而形成的。

高分子材料，包括塑料、化纤、橡胶、粘接剂等门类。

所谓高分子，是指它们是由各原子呈共价键结合的长键状大分子组成的。

由于单个分子的分子量很大，又称为高分子或大分子。

聚合过程的细节控制着所形成的聚合物类型，至于聚合物的性质，则主要由其自身结构所决定。

聚合物具有轻巧、价廉和便于加工成形等优点，这类材料在用途上和用量上都在迅速增长。

目前全世界聚合物的产量，在体积上已经超过钢产量。

预计本世纪将在重量上超过钢产量。

高分子所具有的一些独特性能，如橡胶体的高弹性和粘结剂的高粘结性等，更是其他材料无法替代的。

本章将介绍聚合物的粘弹性行为以及工程设计中所采用的伪弹性设计方法。

一、教学要求与学习目标
1、正确理解聚合物的粘弹性行为：
● 线性粘弹性；
● 非线性粘弹性；
●蠕变与松弛。

2、正确理解描述线性粘弹性行为的力学模型与本构方程：
● 两种基本元件－弹性元件、粘性元件及其应力－应变关系；● 串联模型及其应用；
●并联模型及其应用。

3、正确理解伪弹性设计方法及其应用：
● 蠕变曲线族；
● 等时线与等应变线；
●伪弹性设计方法。

二、理论要点
1、粘弹性的概念
●线性与非线性粘弹性
一般工程材料，例如钢铁等，在常温下其应力一应变关系均与时间无关。

近代工程中有不少材料，例如混凝土、塑料（增强或非增强塑料）以及某些生物组织，其应力一应变关系都与时间有关，这种现象称为粘弹性。

聚合物表现出明显的粘弹性变形，是一种介于弹性和粘性之间的变形行为。

粘弹性材料中的应力是应变与时间的函数，因而应力一应变一时间关系可由下述方程描述
σ=f(ε,t)
这就是所谓非线性粘弹性。

为了简化分析过程，可以将上式简化为应力一应变线性方程，但仍包含时间函数，即
σ=εf(t)
此即为线性粘弹性。

●蠕变与松弛
弹性、线性粘弹性与非线性粘弹性的应力一应变关系的比较，可由图加以说明。

从图中可以看出，对于粘弹性材料，当应力保持不变时，应变将随时间的增加而增加，这种现象称为蠕变。

图28－1 弹性与粘弹性应力－应变曲线
当应变保持不变时，应力将随时间的增加而减小，这种现象称为松弛。

需要指出的是，一般弹性材料在较高的温度下也会出现蠕变和松弛。

所不同的是，粘弹性材料在一般环境温度下，便会产生这两种效应。

此外，粘弹性材料的应力一应变一时间关系还具有温度敏感性，即与温度有关。

大部分金属材料虽然在常温下表现为弹性性态，但在一定温度下却表现出粘弹性性态。

本章所指“粘弹性材料”是广义的，即在一定的条件下具有线性粘弹性性态的材料。

2、弹性元件与粘性元件
弹性固体与粘性流体代表着粘弹性材料的两个极端。

弹性固体在载荷除去后其变形能回复到其初始状态；而粘性流体则不具有变形回复的可能性。

弹性固体的应力直接与应变有关；而粘性流体中的应力，除静水压力分量外，则与应变速率有关。

弹性固体与粘性流体的上述性态可以分别由螺旋弹簧和阻尼器模拟。

二者分别称为弹性元件与粘性元件。

这两种元件以不同方式组合成不同的力学模型，可用以描述线性粘弹性的某些性态。

图28－2 弹性元件与粘性元件
式中，E为弹性元件材料的弹性模量，η为粘度，dε/dt为应变速率。

图a、b所示分别为表示弹性元件的线性弹簧和表示粘性元件的阻尼器。

对弹性元件，有
σ=Eε 对粘性元件，有σ=ηdε dt
3、描述粘弹性的麦克斯韦模型
由两种基本元件串联而成的模型，称为麦克斯韦模型。

设弹性元件和粘性元件的应变分别为ε1和ε2，则模型的总应变为
εt=ε1+ε2
将其对时间求一次导数，并利用前面的公式，可得
dεt1dσσ=+ dtEdtη
图28－3 麦克斯韦模型
这一方程描述了粘弹性材料的应力一应变一时间关系，称为本构方程。

4
、描述粘弹性的开尔文模型
图28－4 开尔文模型
两种基本元件并联而成的模型，称为开尔文模型，如图所示。

模型的总应力为二者应力之和：
σ=σ1+σ2
利用两种基本元件的应力－应变关系，得
dεσ=Eε+η dt
或者通过分离变量后积分，写为
t1=−ln(σ−Eε)+C ηE
此即开尔文模型的本构方程，其中C为积分常数，由初始条件确定。

5、伪弹性设计方法
●蠕变曲线族
非线性粘弹性构件的设计，首先需要通过试验确定不同应力水平下应变与时间关系曲线族，称为蠕变曲线族。

其次，由蠕变曲线族得到同一时间的应力与应变的关系，以及对于同一应变下应力与时间的关系。

●等应变线与等时线
通过试验测得某一温度下对应于不同应力的蠕变曲线族，如图28－5a所示。

为方便起见，横坐标采用时间的对数值。

根据蠕变曲线族，对于某一时刻，例如
t=t1，不难得到这一时刻不同应力所对应的应变。

将这些对应的应力与应变值标在应力一应变坐标中，并绘制成曲线，如图28－5b所示。

这一曲线称为等时线。

类似地，对于某一应变值ε'，还可以得到不同时刻的应力值。

在应力与时间对数坐标系中，也可以画出相应的曲线，称为等应变线，如图28－5c所示。

图28－5 蠕变曲线族、等时线与等应变线
●伪弹性设计方法
粘弹性材料构件或零部件的设计同样必须满足力的平衡条件和变形协调条件。

问题是，要建立起联系这二者的合适的应力一时间关系却是困难的。

因此，尽管基于平衡、变形协调以及应力一应变一时间关系的设计方法比较精确，但过于复杂，故难于为一般设计者所接受。

在最近的20年内，最容易为大多数设计者所接受的方法是所谓伪弹性设计方法。

这种方法是将与时间有关的“弹性常数”，例如弹性模量、泊松比代替经典方程中真实弹性常数。

这时的弹性模量和油松比分别称为相当弹性模量和相当泊松比。

分别用E(t)和v(t)表示。

试验结果表明，v(t)一般在0.3～0.4之间。

设计中必须慎重确定与时间有关的上述常数值，以保证构件的在役寿命和极限应变。

极限应变值一般由设计者与材料制造者协商确定，一般取为10×10−3～
20×10−3量级。

这种设计方法必须利用由试验确定的蠕变数据。

三、学习建议
1、关于粘弹性模型与本构方程
粘弹性模型的分析过程表明，解决聚合物的线性粘弹性问题，最重要的是建立与聚合物对时间响应相一致或接近的粘弹性模型，并由模型建立相应的本构方程。

本章只介绍了两种基本模型—麦克斯韦模型和开尔文模型。

但是，这些基本模型所能解决的聚合物的线性粘弹性问题毕竟是有限的。

对于不同的聚合物，需要建立与之相对应的粘弹性模型，这往往需要经过“实验一理论分析一实验”这样的多次反复过程，才能逐步完善。

模型建立之后，需要根据基本元件的本构关系以及模型中基本元件的组合方式，建立与模型相对应的本构方程。

2、需要注意各种粘弹性模型处理问题的范围
线性粘弹性体在不变应力作用下，应变对时间的响应可以表示为
式中，Cc(t)为材料在单位应力作用下的应变响应，即蠕变柔量。

ε(t)=Cc(t)σ0 类似地，线性粘弹性材料在不变应变作用下的应力响应可以表示为σ(t)=Er(t)ε0
式中，Er(t)表示材料在单位应变作用下的应力响应，即松弛模量。

不难看出，上述二式可以分别用于处理蠕变和应力松弛问题。

因此，对于某一种粘弹性模型，若能建立蠕变柔量Cc(t)的表达式，则可用这种模型处理蠕变 8
问题；否则则不能。

类似地，某一种模型的本构方程若能够建立松弛模量Er(t)的表达式，则这一模型便可以用于处理应力松弛问题。

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