《函 数》复习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：答案：x²又⑵y =答案：2111x x -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭, ()()22111x x -≤+, ()()2211x x -≤+,222121x x x x -+≤++,-4x ≤0, ∴x ≥0{|0}x x ≥⑶01(21)111y x x =+-+-答案：211011011210210104022x x x x x x x x x ⎧+≠⇒-≠-⇒≠⎪-⎪⎪-≠⇒≠⎨⎪-≠⇒≠⎪≥⇒-≥⇒-≤≤∴1{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _2 f x ()-2的定义域为________；答案：函数f(x)的定义域为[0.1], 则0≤x ≤1于是0≤x ²≤1 解得-1≤x ≤1所以函数f x ()2的定义域为[-1,1]f∴4≤x ≤93、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1x 1(2)f x+的定义域为 。

答案：y=f(x+1)的定义域是【-2,3】注：y=f(x+1)的定义域是【-2，3】 指的是里面X 的定义域 不是括号内整体的定义域 即-2<=x<=3∴-1<=x+1<=4 ∴x+1 的范围为 [-1,4] f(x)括号内的范围相等y=f(2x-1)f(4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

答案解1：知函数f(x)的定义域为[-1.1],则对函数F （X ）=f(m+x)-f(x-m)来说 -1≤m+x ≤1 -1≤x-m ≤11. 由-1≤m+x 和x-m ≤1 两式相加-1+x-m ≤m+x+1 解得2m ≥-2 m ≥-12. 由m+x ≤1和-1≤x-m 两式相加 m+x-1≤x-m+12m ≤2 解得m ≤1综上：-1≤m ≤1答案解2： -1<x+m<1 →→-1-m < x<1-m-1<x-m<1 → -1+m<x<1+m定义域存在,两者的交集不为空集，（注：则只需（-m-1，1-m ）与（m-1，1-m ）有交集即可。

）-1+m<1-m -1-m<1+m-1<m<1答案解3：-1≤x+m ≤1 -1-m ≤x ≤1-m x ∈[-1-m,1-m] [f(x+m)定义域]同理 x ∈[-1+m,1+m] 是f(x-m)的定义域.要F(x)定义域非空,[-1-m,1-m] ∩[-1+m,1+m]≠φ（空集意思） -1+m ≤1-m,且-1-m ≤1+m 即-1≤m ≤1二、求函数的值域5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈答案解：即y=(x+1)²-4此函数图像是以x= -1为对称轴,以(-1,-4)为顶点、开口朝上的抛物线.那么当x ∈R 时,值域最大值为+∞,而最小值是顶点纵坐标-4,即y ∈[-4,+∞)或写作{|4}y y ≥-或写作y ≥-4 ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈答案解：即y=(x+1)²-4,当x=1时,取得最小值0,当x=2时,取得最大值5.画一画图，就可以看出[0,5]y ∈⑶311x y x -=+可能等于0,所以y≠3. y 的值域是（-∞，3）U （3，+∞）)或写作x≠-1{|3}y y ≠⑸y =∴－5≤102x -+＜0 ∴－3≤2102x -+＜2,故函数的值域是[－3,2) 或写作[3,2)y ∈- ⑹ 225941x x y x +=-＋答案解：y=222225945(1)9(1)9(1)9(1)55111(1)(1)x x x x x x x x x x x ++-++++==-=-----+=95(1)x --,∴y=5+9/(x-1)≠5且分母x+1≠0 x ≠-1 而x=-1时,9(1)5(1)(1)x x x +--+即95(1)x --≠12所以y ≠12 ∴值域(-∞,1/2)∪(1/2,5)∪(5,+∞) 或写作1{|5}2y y y ≠≠且 ⑺31y x x =-++答案解：若x<-1,→ x-3<0,→x+1<0 ∴|x-3|=-x+3,|x+1|=-x-1y=3-x-x-1=2-2x ≥2-2⨯(-1) ≥4. 若-1≤x ≤3,x-3≤0,x+1≥0 ∴|x-3|=-x+3,|x+1|=x+1 y=3-x+x+1=4.若x>3,x-3>0,x+1>0 ∴|x-3|=x-3,|x+1|=x+1 y=x-3+x+1=2x-2≥2⨯3-2≥4 ∴y ≥4或写作{|4}y y ≥ .如图：⑻2y x x =-答案解：222,2,0202,,x x x y y x x x y ⎧-+≤≤⎪=⎨->>⎪⎩∴y R ∈⑼ 245y x x -++答案解： ²45x x -++=²449x x -+-+ =2(2)9x --+≤ 0≤29(2)x --≤3即0≤y ≤3或写作[0,3]y ∈ ⑽ 2445y x x =--++解：根号下的式子必须不小于0.∵-x ²+4x+5≥0 -(x+1)(x-5)≥0∴ x+1≥0 x-5≤0 ∴-1≤x ≤5 而x+1≤0 且x-5≥0无解 ∴ x ∈[-1,5]-x ²+4x+5对称轴为 x=2 此时取最大值9. -x ²+4x+5 ∈[0,9]54x x 2-++∈[0,3]-54x x 2-++∈[-3,0] 4-54x x 2-++∈[1,4]. ∴[1,4]y ∈ ⑾12y x x =-- 解：∵x 定义域1-2x > 0, x <21，y 最大值=21- 2-121⨯=21∴y 的值域为负无穷到21。

1{|}2y y ≤6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

解：利用判别式法求值域, 因为该方程能解出x 所以Δ≥0.在数学中，Δ在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)或二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)中代表b²-4ac 即△=b²-4ac ，在方程中，若Δ≥0方程有实数解（若Δ＞0，方程有两个不相等的实数解；若Δ=0，方程有两个相等的实数解），若Δ＜0方程无实数解；在二次函数中，若Δ≥0图像与x 轴有交点（若Δ＞0，图像与x 轴有两个交点；若Δ=0，图像与x 轴有一个交点），若Δ＜0图像与x 轴无交点。

在物理学中，表示物理量的变化如Q=cmΔt (式中Q 代表热量，c 代表物质的比热[容]，m 代表物质的质量，Δt 代表温度的变化量)∵y=1b +ax +2x 22+x ,∴y （x 2+1）= b +ax +2x 2→∴（y-2）x²-ax+y-b=0（1）当y-2≠0时因为x ∈R,Δ≥0, b²-4ac ≥0（注：这个abc 是个通用定理字母）。

即(-a)²-4(y-2) (y-b)≥0→a²-4(y²-2y-by+2b) ≥0 →a²-4y²+4(2+b)y-8b≥0→∴4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0又∵1≤y≤3 ∴1,3是关于y=方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的两根对于一元二次方程 （a 0）经常运用的是韦达定理，如果有实数根，设两实数根为 ,则，（注意：a 指二次项系数，b 指一次项系数，c 指常数，且a≠0）。

由根与系数的关系,→1+3=-bb （)24+-→4=2+b → b=2， →1ⅹ3=4a -8b ²→3=4a -28²⨯→12=16-a ²→a ²=4→a=-2,或2，∴ a=±2 b=2 （2）当y=2时ax+b=2,当a=2,b=2；或a=-2,b=2时,x=0满足题意所以a=±2,b=2 ∴2,2a b =±=三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

解：方法多种多样。

方法1、换元法：令t=x-1,则有：x=t+1（注：这个x 是个通用代入表示字母）。

得：f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t 2-2t+1-4→t 2-2t-3∴f （x ）＝x ²－2x －3 方法2、拼凑法：x ²－4x ＝（x －1）²－2（x －1）－3∴f （x ）＝x ²－2x －3.第二问把x 用2x －1代替即可f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x 2+ 4x +1-4x-2-3→4x 2-4 ∴2()23f x x x =-- ； 2(21)44f x x +=-2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

解：∵f （x ）是二次函数,∴可设f （x ）＝ax ²＋bx ＋c.∴f （x ＋1）＝a （x ＋1）²＋b （x ＋1）＋c ＝ax ²＋2ax ＋1＋bx ＋b ＋c. f （x －1）＝a （x －1）²＋b （x －1）＋c ＝ax ²－2ax ＋1＋bx －b ＋c. ∴f （x ＋1）＋f （x －1）＝2ax ²＋2＋2bx ＋2c ＝2ax ²＋2bx ＋2c ＋2.······① 又f （x ＋1）＋f （x －1）＝2x ²－4x.······②显然,①、②恒等,∴通过比较各项系数,得：a ＝1、b ＝－2、c ＝－1. ∴f （x ）＝x ²－2x －1.3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

解：方法多种多样。

方法1∵2f （x ）+f(-x ）=3x+4 ······① 令-x 代替上式中的x ，即x=-x,则∴2f(-x)+f(x)=-3x+4 ······② ①⨯2-②得2⨯[2f （x ）+f(-x ）]- [2f(-x)+f(x)]= 4f （x ）+2f(-x ）- 2f(-x)-f(x)= 3f(x)=2(3x+4)-(-3x+4)=9x+44、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为解: 函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），则称函数f （x ）为偶函数。