难点突破一．选择题（共18小题）1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1）2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）A．48 B．60 C．96 D．1205．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣66．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣17．已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．18．四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．8 B．C．D．49．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）A．2p2B．2p C．4p D．p10．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣311．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．613．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π14．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或615．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）A．B．C．D．16．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+] 17．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f （a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln218．在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，=（）A．B．C．9 D．﹣9二．填空题（共12小题）19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是．20．设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是．21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是．22．在△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则sin∠BAC=．23．已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是．24．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面向量，，满足（2﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意满足条件的向量，|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|的最小值．26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是．27．已知函数如果使等式成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实数x2仅有2个，则的取值范围是．28．设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．29．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为．30．若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为．三．解答题（共10小题）31．已知函数f（x）=ln（x+1）．（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；（2）设函数g（x）=e x﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0．32．已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．33．已知函数f（x）=e x+lnx．（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．35．已知函数f（x）=alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．36．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．37．已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．38．已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，①求a的取值范围；②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．39．已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．40．已知函数f（x）=e x+px﹣﹣2lnx（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若函数F（x）=f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数g（x）=e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．2018年05月14日郭小波的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1）【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=＜0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵g（1）＞g（2），∴＞，∴e2f（1）＞f（2），∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣2）=﹣f（2），∴e2f（﹣1）＜﹣f（2），故选：C．2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a2，则f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，a=0时，f（x）=x2+x＞0，符合题意，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），令h（a）=a﹣1﹣lna，（a＞0），故h′（a）=1﹣=，令h′（a）＞0，解得：a＞1，令h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，故h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（a）≥h（1）=0，故a﹣1﹣lna≥0，故a＞0时，只要a≠1，则h（a）＞0，综上，a∈[0，1）∪（1，+∞），故选：A．3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xe x，其导数f1′（x）=（x）′e x+x（e x）′=（x+1）e x，分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣），对于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）e x，其导数f2′（x）=（x+1）′e x+（x+1）（e x）′=（x+2）e x，分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），…分析可得曲线y=f n（x）的最低点P n，其坐标为（﹣n，﹣）；（﹣n﹣1，﹣），P n+2（﹣n﹣2，﹣）；则P n+1∴|P n P n+1|==，直线P n P n+1的方程为，即为（e﹣1）x+e n+1y+e﹣n=0，到直线P n P n+1的距离d=，故点P n+2∴S n=|P n P n+1|•d=，设g（n）=，易知函数g（n）为单调递减函数，故{S n}是递减数列，故选：D．4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）A．48 B．60 C．96 D．120【解答】解：8根算筹由1，2，5构成，可得组成6个三位数；由1，3，4构成，可得组成6个三位数；由2，1，5构成，可得组成6个三位数；由2，2，4构成，可得组成3个三位数；由2，3，3构成，可得组成3个三位数；由于2根算筹看做6，3根算筹看做7，4根算筹看做8，5根算筹看做9，由1，2，9构成，可得组成6个三位数；由1，6，5构成，可得组成6个三位数；由1，6，9构成，可得组成6个三位数；由1，7，4构成，可得组成6个三位数；由1，3，8构成，可得组成6个三位数；由1，7，8构成，可得组成6个三位数；由6，1，5构成，可得组成6个三位数；由2，1，9构成，可得组成6个三位数；由6，1，9构成，可得组成6个三位数；由6，6，4构成，可得组成3个三位数；由2，2，8构成，可得组成3个三位数；由6，6，8构成，可得组成3个三位数；由6，3，3构成，可得组成3个三位数；由2，7，7构成，可得组成3个三位数；由6，7，7构成，可得组成3个三位数．则共有12×6+8×3=96，故选：C．5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6【解答】解：∵，∴[f（x）+xf′（x）]≥0，而f′（2）=2，故f（2）+2f′（2）=0，故f（2）=﹣4，故选：C．6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：D．7．已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=，令h（x）=，由h′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2==μ3=，=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．8．四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．8 B．C．D．4【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，∴△PCB，△PCD，△PAC是有公共斜边PC的直角三角形，取PC中点O∴OA=OB=OC=OP，O为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，直径PC=2，设四棱锥的底面边长为a，PA=．△PAB面积S===3，当且仅当a2=12﹣a2，即a=时，△PAB面积最大，此时PA=，四棱锥P﹣ABCD的体积V==，故选：D，9．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）A．2p2B．2p C．4p D．p【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点为任意的，不妨设直线AB为x=p，由，解得y=±2p，则A（﹣p，﹣p），B（p，p），∵直线BM的方程为y=x，直线AM的方程为y=﹣p，解得M（﹣p，﹣p），∴|ME|2=（2p）2+2p2=6p2，设过点M与此抛物线相切的直线为y+p=k（x+p），由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k=0，∴△=4p2﹣4k（﹣2p+2p2k）=0，解得k=，∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p=（x+p），由，解得N（p，2p），∴|NE|2=4p2，∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2，故选：A．10．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B．11．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由=，得，即，取AB中点H，BC中点G，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使KG=GO，则O为所求点，∵点P满足|，M为△ABC边上的点，∴当M与A重合时，|MP|有最大值为|OA|+|OP|，而|OA|=，∴|MP|的最大值为，故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），可得x≥3时的图象，可将f（x）在[1，3]的图象向右平移2k（k为正整数）个单位；在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，作出f（x）的图象和函数y=|ln|x||的图象，可得它们有4个交点，则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是4．故选：C．13．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选：A．14．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【解答】解：f′（x）=e x（2x﹣1）+）+（x2﹣x﹣1）e x=e x（x2+x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）的极大值为f（﹣2）=，f（x）的极小值为f（1）=﹣e．作出f（x）的函数图象如图所示：∵，∴f2（x）﹣mf（x）﹣=0，△=m2+＞0，令f（x）=t则，则t1t2=﹣．不妨设t1＜0＜t2，（1）若t1＜﹣e，则0＜t2＜，此时f（x）=t1无解，f（x）=t2有三解；（2）若t1=﹣e，则t2=，此时f（x）=t1有一解，f（x）=t2有两解；（3）若﹣e＜t1＜0，则t2＞，此时f（x）=t1有两解，f（x）=t2有一解；综上，f2（x）﹣mf（x）=有三个不同的实数解．故选：A．15．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC．由A为锐角且sinA=，不妨设外接圆的半径R=3．则OA=OB=OC=3．∵cos∠COD==cosA=，∴OD=1，DC==2．∴B（﹣2，0），C（2，0），O（0，1），A（m，n），则△ABC外接圆的方程为：x2+（y﹣1）2=9．（*）∵=α+β，∴（﹣m，1﹣n）=α（﹣2﹣m，﹣n）+β（2﹣m，﹣n），∴，∵α+β≠1时，否则=α，由图可知是不可能的．∴可化为，代入（*）可得+=9，化为18（α+β）=9+32αβ，利用基本不等式可得18（α+β）≤9+32（）2，化为8（α+β）2﹣18（α+β）+9≥0，解得α+β≤或α+β≥．又α+β＜1，故α+β≥应舍去．∴α+β≤，则α+β的最大值为，故选：D．16．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+]【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选：D．17．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f （a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln2【解答】解：令y=e a，则a=lny，令y=ln+，可得b=2，则b﹣a=2﹣lny，∴（b﹣a）′=2﹣．显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y=时，（b﹣a）′=0，故（b﹣a）′有唯一零点．故当y=时，b﹣a取得最小值为2﹣lny=2﹣ln=2+ln2，故选：D．18．在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，=（）A．B．C．9 D．﹣9【解答】解：∵•=||•||•cosB=||2，∴||•cosB=||=6，∴⊥，即∠A=，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），则=x2+y2+（x﹣6）2+y2+x2+（y﹣3）2，=3x2﹣12x+3y2﹣6y+45，=3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+10]，∴当x=2，y=1时取的最小值，此时•=（2，1）•（﹣6，3）=﹣9故选：D．二．填空题（共12小题）19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是2﹣2．【解答】解：由﹣2a﹣b=，得=2a+b，由A，B，C共线，得：2a+b=1且a＞0，b＞0，故=﹣1+﹣1=+﹣2≥2﹣2，当且仅当a+2b=（a+b）时“=”成立，故答案为：．20．设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x﹣1）]=﹣x（x+1），①若x＜0，则x﹣1＜﹣1，由f（x）+f（x﹣1）＜2得﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＜2，即﹣2x2＜2，即x2＞﹣1，此时恒成立，此时x＜0．②若x≥1，则x﹣1≥0，由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）＜2，即x2﹣2x＜0，即0＜x＜2，此时1≤x＜2，③若0≤x＜1，则x﹣1＜0，则由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）﹣（x﹣1）x＜2，即0＜2，此时不等式恒成立，此时0≤x＜1，综上x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；∴A（﹣，0），C（，0），D（0，1），∴=（﹣，﹣b），=（，﹣b），=（0，1﹣b），∴+=（，1﹣2b），∴=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b2=2﹣，当且仅当b=时，取得最小值﹣．故答案为：﹣．22．在△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则sin∠BAC=．【解答】解：设AC=x，BC=y，由于：△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则：，解得：①，利用余弦定理得：②由①②得：，解得：或，由于：AC＞BC，则：．在△ABC中，，解得：AB=．利用正弦定理得：，解得：．故答案为：23．已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0）递减，若f（x﹣1）＞f（x），则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，解得：x＜，故答案为：（﹣∞，）．24．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（1，5）．【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，又长方体体积为1×2×3=6，所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5．故答案为：（1，5）．25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面向量，，满足（2﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意满足条件的向量，|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|的最小值4．【解答】解：设=（x，y），则=（0，4），=（0，2）；又（2﹣）（﹣）=0，∴（2x﹣0）（x﹣0）+（2y﹣4）（y﹣2）=0，化简为x2+（y﹣2）2=0，解得x=0，y=2，∴=（0，2）；∴﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•=（0，2）﹣t•（0，4）﹣[ln（﹣t）﹣1]•（0，2）=（0，2）﹣（0，t）﹣（0，ln（﹣t）﹣1）=（0，3﹣t﹣ln（﹣t）），∴|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|=|3﹣t﹣ln（﹣t）|=3﹣t﹣ln（﹣t）；设f（t）=3﹣t﹣ln（﹣t），t＜0；则f′（t）=﹣1+，令f′（t）=0，解得t=﹣1，∴t∈（﹣∞，﹣1）时，f′（t）＜0，f（t）是单调减函数，t∈（﹣1，0）时，f′（t）是单调增函数，∴f（t）的最小值是f（﹣1）=3﹣（﹣1）﹣ln1=4．故答案为：4．26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是（1，] ．【解答】解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，其对应的边分别为a，b，c，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，由正弦定理可得====2，∴a=2sinA，c=2sinC=2sin（﹣A）=2（cosA+sinA）=cosA+sinA，∴ac=2sinA（cosA+sinA）=sin2A+2sin2A=sin2A﹣cos2A+1=2sin（2A﹣）+1，∵0＜A＜，0＜﹣A＜∴＜A＜∴＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，∴2＜2sin（2A﹣）+1≤3，∴2＜ac≤3，∵•=accosB=ac，∴•的取值范围是（1，]故答案为：（1，]27．已知函数如果使等式成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实数x2仅有2个，则的取值范围是（1，3] ．【解答】解：当﹣3≤x≤0时，y=﹣x（x+2）2的导数为y′=﹣（x+2）（3x+2），可得﹣2＜x＜﹣时，函数递增；﹣3＜x＜﹣2，﹣＜x＜0，函数递减；当x＞0时，y=2e x（4﹣x）﹣8的导数为y′=2e x（3﹣x），当x＞3时，函数递减；0＜x＜3时，函数递增，x=3时，y=2e3﹣8，作出函数f（x）的图象，等式=k表示点（﹣4，0），（﹣2，0），（﹣，0）与f（x）图象上的点的斜率相等，由（﹣3，3）与（﹣4，0）的连线与f（x）有3个交点，且斜率为3，则k的最大值为3；由题意可得，过（﹣2，0）的直线与f（x）的图象相切，转到斜率为3的时候，实数x2仅有2个，设切点为（m，n），（﹣2＜m＜0），求得切线的斜率为﹣（m+2）（3m+2）=，解得m=﹣1，此时切线的斜率为1，则k的范围是（1，3]．故答案为：（1，3]．28．设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）=g'（x0），即，解出x0=a（舍去），又y0=f（x0）=g（x0），所以有，故，所以有，对b求导有b'=﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：．29．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为4π．【解答】解：直观图如图所示的正四面体，构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，∴此三棱锥的外接球的半径为R=三棱锥的外接球的体积为V=．故答案为：4π．30．若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正项递增等比数列，则q＞1．数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0，则有1=（a4﹣a2）+λ（a5﹣a3）=（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）=（1+λq）（a4﹣a2），则有1+λq=，a8+λa9=a8+λqa8=a8（1+λq）==，令g（q）=，（q＞1）则导数g′（q）==，分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数；当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数；则当q=时，g（q）取得最小值，此时g（q）=，即a8+λa9的最小值为，故答案为：．三．解答题（共10小题）31．已知函数f（x）=ln（x+1）．（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；（2）设函数g（x）=e x﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0．【解答】解：（1）记q（x）=x﹣ln（x+1），则，在（﹣1，0）上，q'（x）＜0即q（x）在（﹣1，0）上递减，所以q（x）＞q（0）=0，即x＞ln（x+1）=f（x）恒成立记m（x）=x+ln（﹣x+1），则，在（﹣1，0）上，m'（x）＞0即m（x）在（﹣1，0）上递增，所以m（x）＜m（0）=0，即x+ln（﹣x+1）＜0恒成立，x＜﹣ln（﹣x+1）=﹣f（﹣x）…（5分）（2）①g（x）=e x﹣ln（x+1）﹣a，定义域：（﹣1，+∞），则，易知g'（x）在（﹣1，+∞）递增，而g'（0）=0，所以在（﹣1，0）上，g'（x）＜0g（x）在（﹣1，0]递减，在[0，+∞）递增，x→﹣1+，y→+∞，x→+∞，y→+∞=g（0）=1﹣a＜0要使函数有两个零点，则g（x）极小值故实数a的取值范围是（1，+∞）…（7分）②由①知﹣1＜x1＜0＜x2，记h（x）=g（x）﹣g（﹣x），x∈（﹣1，0），当x∈（﹣1，0）时，由①知：x＜﹣ln（﹣x+1），则再由x＞ln（x+1）得，，故h'（x）＜0恒成立，h（x）=g（x）﹣g（﹣x）在x∈（﹣1，0）单调递减，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞g（﹣x），而﹣1＜x1＜0，g（x1）＞g（﹣x1）g（x1）=g（x2）=0，所以g（x2）＞g（﹣x1），由题知，﹣x1，x2∈（0，+∞），g（x）在[0，+∞）递增，所以x2＞﹣x1，即x1+x2＞0…（12分）32．已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1，令h'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，∴对任意x∈R，e x≥x+1…（2分）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1∴当x＞﹣1时，x≥ln（x+1）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞）当m≤0时，由（Ⅰ）知，g（x）=e x﹣lnx﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g（x）无零点…（6分）当m=1时，g（x）=e x﹣lnx﹣3，∵g'（1）=e﹣1＞0，，且g'（x）为（0，+∞）上的增函数∴g'（x）有唯一的零点当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为…（8分）由x0为g'（x）的零点知，，于是∴g（x）的最小值由知，，即g（x0）＜0…（10分）又g（2）=e2+ln2﹣3＞0，∴g（x）在上有一个零点，在（x0，2）上有一个零点∴g（x）有两个零点…（11分）综上所述，m的最小值为1…（12分）33．已知函数f（x）=e x+lnx．（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由于y=h（x）=f′（x）=e x+，则h′（x）=e x﹣，则当x∈（1，+∞）时，e x＞e，＜1，所以h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上是增函数，于是y在[1，+∞）上的最小值为h（1）=e+1；（2）考虑函数g（x）=f（x）﹣e﹣m（x﹣1），即为g（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，且发现g（1）=0，于是g′（x）=+e x﹣m，由（1）知：当m≤e+1时，g′（x）≥0，此时g（x）单调增，于是g（x）≥g（1）=0，成立；若m＞e+1，则存在t∈（1，+∞）使得：g′（t）=0，当x∈（1，t）时，g′（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，g′（x）＞0，此时g（x）≥g（t）＜0，矛盾．综上，m≤e+1．34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）f′（x）=x﹣a+=，（a＞0），△=a2﹣4a．①当△≤0，即0＜a≤4时，函数f（x）在（0，+∞）递增，②当△＞0，即＞4时，f′（x）=0的根，x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）递减．（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），h′（x）=﹣，当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（），因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1＜，故x1•x22＜2．综上所述：x1•x22＜2．35．已知函数f（x）=alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．【解答】解：（1）由f（x）=alnx﹣bx﹣3知f′（x）=，当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．证明：（2）g（x）=lnx﹣bx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，∵g（x1）=0，g（x2）=0，∴lnx1﹣bx1=0，lnx2﹣bx2=0，∴lnx1﹣lnx2=b（x1﹣x2），lnx1+lnx2=b（x1+x2），要证lnx1+lnx2＞2，即证b（x1+x2）＞2，即＞，即ln＞，设t=＞1上式转化为lnt＞，t＞1．设g（t）=lnt﹣，∴g′（t）=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，∴lnr＞，∴lnx1+lnx2＞2．36．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）记[a]表示不超过实数a的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的最大值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0）．f′（x）=﹣1=，令f′（x）=0，解得x=1．∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．（2）不等式f（x）≤x恒成立，即lnx﹣（a+1）x+a≤0恒成立，x∈（0，+∞）．令g（x）=lnx﹣（a+1）x+a，x∈（0，+∞）．g′（x）=﹣（a+1）．①a≤﹣1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．而g（e）=1﹣（a+1）e+a=（1﹣e）（1+a）≥0．可得x＞e时，g（x）＞0，不满足题意，舍去．②a＞﹣1时，g′（x）=，可得x=时，函数g（x）取得极大值即最大值．=﹣（a+1）×+a=﹣ln（a+1）+a﹣1，令a+1=t＞0，h（t）=﹣lnt+t﹣2．h′（t）=﹣+1=，可得h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．h（3）=﹣ln3+1＜0，h（4）=﹣ln4+2＞0．∴（a+1）max∈（3，4），∴[a]=2．37．已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．【解答】解（1）当b=0时，f（x）=ae x+x2，由题意ae x+x2=0只有一解．由ae x+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．（2）f（x）=ae x+x2﹣2x，f'（x）=ae x+2x﹣2，假设存在，则有，即，又，，∴，∵a≠0，∴，不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除e m，得（*），令，令，∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴方程te=e t﹣1无解，∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．38．已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，①求a的取值范围；②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．【解答】解：（1）由题f′（x）=，（x＞0）方法1：由于，﹣e x＜﹣1＜0，（﹣x2+3x﹣3）e x＜﹣，又，所以（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a＜0，从而f'（x）＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）方法2：令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．故h（x）在x=1时取得极大值，也即为最大值．则h（x）max=﹣e﹣a．由于，所以h（x）max=h（1）=﹣e﹣a＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）（2）①令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．由于f（x）有两个极值点，所以f'（x）=0有两不等实根，即h（x）=0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2），则，解得﹣3＜a＜﹣e，②可知x1∈（0，1），由于h（1）=﹣e﹣a＞0，h（）=﹣﹣a＜﹣+3＜0，则．而f′（x2）==0，即=（#）所以g（x）极大值=f（x2）=，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，下面再说明对于任意﹣3＜a＜﹣e，，f（x2）＞2．又由（#）得a=（﹣+3x2﹣3），把它代入（*）得f（x2）=（2﹣x2），所以当时，f′（x2）=（1﹣x2）＜0恒成立，故f（x2）为的减函数，所以f（x2）＞f（）=＞2，所以满足题意的整数m的最小值为3．39．已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：（1）由，得，当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，则f（x）仅有一个零点．当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．当a＜﹣1时，若；若；若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2）=0即可．，又，所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），则，则h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，所以x1+x2＞2．40．已知函数f（x）=e x+px﹣﹣2lnx（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；（2）若函数F（x）=f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数g（x）=e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=e x+px﹣﹣2lnx，（1）当p=2时，f（x）=e x+2x﹣﹣2lnx，f（1）=e，又，∴f′（1）=e+2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣e=（e+2）（x﹣1），即（e+2）x﹣y﹣2=0；（2）F（x）=f（x）﹣e x=px﹣，，由F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，∴F'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0，即对任意x＞0恒成立，设，可知h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则h（x）max=h（1）=1，∴p≥h（1）=1，即p∈[1，+∞）；（3）设函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣，x∈[1，e]，则原问题⇔在[1，e]上至少存在一点x0，使得φ（x0）＞0⇔φ（x）max＞0（x∈[1，e]）．，当p=0时，，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）max=φ（e）=﹣4＜0，（舍）；当p＜0时，φ（x）=p（x﹣）﹣，∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0，则φ（x）＜0，（舍）；当p＞0时，，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）max=φ（e）=pe﹣＞0，整理得p＞，综上，p∈（）．。