- 1 - 高一函数经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a -1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a 土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。

a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2；x<a 时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m 的值（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。

- 2 - 解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。

log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3)log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)][1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2所以 -m^2=-1（2m-1)^2=9解得 m=-1所以,函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)]2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。

t(x ）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]当3<x<4时，0<x-3<11/(x-3)>1,6/(x-3)>6所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷） 3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)>0且x≠3 解得 x>3或x<-3(1)当x>3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以 函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

（2）当x<-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

4.已知函数f （x ）=log4（4^x+1）+kx 是偶函数.(1)求k 的值(2)设f （x ）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围. 解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx （K∈R）是偶函数，∴f(-x)=f(x),即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,-x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]g(x)=log4(a · 2^x -4/3a)- 3 - 联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x -4/3a)∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x -4/3a不妨设t=2^x t ＞0t^2+1/t=at-4/3at^2+1=at^2-4/3at(a-1)t^2-4/3at-1=0设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)2.当△=0时 a=3/4 或a=-3a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍）a=-3时 t=1/2满足3.当一正根一负根时(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布)∴a＞1综上所述，得a=-3或a ＞15.这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。

2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x 值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x 。

f(x)不等于1时对应的x 值有两个，即两个关于x=2对称的两个x 。

3.题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x 根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x 值，设为x1,x2,x3;另一个f （x ）对应两个x,设为x4,x5;根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f （x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B6.已知函数0x ,0x ,0x 1x )x (f ≠⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,f(x)的值域是｛0｝∪【1，+∞）.求关于x 的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点- 4 -- 5 -- 6 -7.定义域为R 的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a 属于R)，方程f(x)=0在R 上恰有5个不同的实数解（1）求x<0时，函数f(x)的解析式(2)求实数a 的取值范围(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R 上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a ＜0时，y=lnx , y=-ax 在x >0时都单调增，则f(x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a ＞0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a 时，f '(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在x=1/a 取到最大值 要f(x)在x >0时有两个解,只要f(1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a ＞e,得a ＜1/e 综上,a∈(0,1/e)8.定义域为R 的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=lnx-ax （a∈R），方程f （x ）=0在R 上恰有5个不同的实数解．（1）求x ＜0时，函数f （x ）的解析式； （2）求实数a 的取值范围．解答：解：（1）设x ＜0，则-x ＞0．∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=f （-x ）=ln （-x ）+ax ．（2）∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=0的根关于原点对称．由f （x ）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题⇔当x ＞0时f （x ）图象与x 轴恰有两个不同的交点． 下面研究x ＞0时的情况：f （x ）=0的零点个数⇔y=lnx 与直线y=ax 交点的个数．∴当a≤0时，y=lnx 递增与直线y=ax 下降或与x 轴重合，故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．由几何意义知y=lnx 与直线y=ax 交点的个数为2时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与y=lnx 相切之间的情形．设切点(t ，lnt)⇒k ＝(lnx )′|x ＝t ＝t1，- 7 - ∴切线方程为：y −lnt ＝t1(x −t)． 由切线与y=ax 重合知a ＝t 1，lnt ＝1⇒t ＝e ，a ＝e1， 故实数a 的取值范围为(0，e 1)． 9.函数y=loga(2x-3)+22的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___ 解:由于 loga(1) 恒等于0，所以 P 坐标为（2，22），而P 在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=x^a ， 则 22=2^a ，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。

10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___解:P 点坐标为（-1，2），与a 无关而幂函数f(x)=b^x 要经过P 点，则2=b^-1，所以b=1/2所以f(2)=(1/2)^2=1/4 11.若偶函数f （x ）满足f （x-1）=f （x+1）且在x 属于【0，1】时 f （x ）=x 的平方，则关于x 的方程f （x ）=(1/10)的x 的平方在[0,10/3]上的实数根有几个f(x －1)=f(x ＋1)，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。

另外设g(x)=(1/10)x&sup 2;，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。

12.已知偶函数f （x ）满足f （x ＋1）=f （x-1），且x∈[0,1]，f （x ）=（x-1）²，则f（7/2）=解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2) =f(1/2)=(1/2-1)²=1/4- 8 -13.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x+1（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。