H X k 2 f X k




2 f X k x1x2 2 f X k 2 x2 2 f X k xn x2



2 f X k x1xn 2 f X k x2 xn 2 f X k 2 xn
14
第二章 优化设计的数学基础
*一、 目标函数的基本性质
1 函数的等值面（线） 函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。 2 函数的最速下降方向 f x1 T 梯度 f f X f X f X x f X x 2 x2 xn 1 f x n X1 点的最速下降方向为
线性问题 无约束问题 非线性问题 一维问题 静态问题 n维问题 最优化问题 约束问题 线性规划 非线性规划 无约束 动态问题 约束
机械优化设计基本上是非线性的、有约束的最优化问题。
ai xi bi
性能约束
条件。
i ＝ 1,2, · ，n · ·
由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束
5
（2）根据约束条件的形式分 不等式约束
gu X 0
u=1,2, · ，m · ·
等式约束
hv X 0
v = 1，2， · ，p < n · ·
一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须 少于 n 。
29
(3）产生新的探测点a3，y3＝f(a3); (4) 比较函数值 y2与y3：
（b）如y2>y3, 加大步长 h＝2 h
(也可不变)
，
a1=a2, a2=a3, 转（3）继续探测。
（a）如y2<y3, 则初始区间得到：
a=min[a1,a3]， b=max[a3,a1]，函数
最小值所在的区间为[a， b] 。



海色（Hessian）矩阵 H ( x ) 正定，即各阶主 子式均大于零，则X*为极小点。
海色（Hessian）矩阵 负定，即各阶主 子式负、正相间，则X*为极大点。
H ( x )
22
2、约束优化问题的极值条件
1）约束优化设计的最优点在可行域 D 中 最优点是一个内点，其最优解条件与无约束 优化设计的最优解条件相同；
试探法 插值法
一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对 于解决一维最优化本身具有实际意义，而且也 是解多维最优化问题的重要支柱。
（搜索步长求解）
27
确定搜索区间的外推法
1、单谷(峰）区间 在给定区间内仅有一个谷值的函数称为单谷 数，其区间称为单谷区间。
函数值：“大－小－大”
图形：“高—低—高”
X X 1 X X H X X X 2
T k k T k k
H(X (k)) 为Hessian 矩阵
2 f X k x12 2 k f X x x 2 1 2 k f X xn x1
或
xik 1 xik 2
f
fk fk&
10
（2）函数值下降量 准则
F ( x ) F( x ) 3
k 1 k
或
F ( x k 1 ) F ( x k ) 4 k F(x )
f fk fk+1 f* o
xk
xk+1 (b)
1 2
函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是 和等值面上过x0的一切曲线相垂直。
由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的 最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局 部性质。
17
*二 函数的近似表达式
f (X) 的近似表达式为
f X f X k f X k


x*
x
11
（3）目标函数梯度 准则
F ( x k ) 5
采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：
i 10 ~ 10 (i 1,,5)
2 5
上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程 度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中 一种或多种同时满足来进行判定。
12
八 优化分类及机械优化设计的特点
b
31
*一、黄金分割法 1、在寻找一个区间 [ Xa , Xb ]，使函数 f (X)在该区间的极小点 X* ∈ [ Xa , Xb ] 。
2、用黄金分割法在区间[ Xa , Xb ]中寻找 X* 。
X1 X b X b X a X2 Xa Xb Xa
23
2）约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上
设 X (k) 点有适时约束 库恩—塔克条件 （K-T条件）：
g j l F hk x j x k x 0 (i 1, 2, , n) k 1 i i i j J g j ( x) 0 ( j J ) j 0 ( j J )
25
K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,
以用来作为约束极值的判断条件，又可以来 直接求解较简单的约束优化问题。
对于目标函数和约束函数都是凸函数 的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。
这种情况K-T条件即为多元函数取得约束 极值的充分必要条件。
26
第三章 一维搜索的最优化方法
一维搜索方法数值解法分类
显式约束 隐式约束
6
*五 可行域 可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的所构 成的空间 。
满足两项约束条件
g1（X）=x12＋x22—16 ≤ 0
g2（X）＝2—x2≤0 的二维设计问题的可行域D
7
六 优化设计的数学模型
min f X
X R
n
s.t. gu X 0 , u 1, 2,, m hv X 0 , v 1, 2,, p n



18
四 函数的凸性
1. 凸集 2. 凸函数 如果HESSEN矩阵正定，为凸函数； 二次函数
3. 凸规划
1 T f X X QX bT X c 2
19 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解；
几个常用的梯度公式：
1 . 2 . 3 . 4 .
13
九、基本解法
求解优化问题的基本解法有： 解析法
数值解法
解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据
函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析 解的求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。
数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代 方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着 能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点 进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优 点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。
F F F T F ( x ) [ ] x 0 x1 x2 xn

即在极值点处函数的梯度为n维零向量。
21
2）x * 处取得极值充分条件
2F x 2 1 2F 2 F ( x * ) x2 x1 2 F xn x1 2F x1x2 2F x22 2F xn x2 2F x1xn 2 F x2 xn 正定或负定 2F xn2 x*
f X C 常数 f X XT X Q对称矩阵。 f X bT X
则，f X 0 则，f X 2 X f X X T QX 则，f X b
即，C 0 . . 则，f X 2QX
20
*五、优化问题的极值条件 1、无约束优化问题的极值条件 1）F(x)在 x *处取得极值，其必要条件是:
机械优化设计
一次性补考 总复习
2012年6月2日
1
题型（开卷考试）
• • • • • • • 一、选择题(每小题2分，共20分) 二、填空题(每空2分,共20分) 三、问答题(每小题6分,共30分) 四、计算题(30分) 1 最速下降方向的求解 2 牛顿型法 3 黄金分割法
2
第一章 优化设计的基本概念和理论
f X 1
局部性质
15
梯度的模：
F F F x1 x2
2
2
用Matlab可画出该函数的等直线。
16
梯度
F ( x0 )模：
n F 2 F ( x 0 ) ( ) x0 i 1 xi
30
一维搜索的区间消去方法
• 搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短 搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。 • 假定在搜索区间内[a,b] 任取两点a1,b1; f1＝f（a1）， f2＝f（b1）
f(b1) f(a1)
f(a1) f(b1)
f(a1)
f(b1)
a
a1
b1
b
a
a1
b1
b
a
a1
b1
24
库恩—塔克条件表明：如点
F ( * 的极值点，要么x ) 0 时 ） 要么目标函数的负梯度等于起作用约束梯度的非负
F( 是函数 x ) j 0 （此
x
线性组合（此时 j 0
）。
库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点 x F 处函数( x ) 的负梯度一定能表示成所有起使用约 束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。
三 目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标， 这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。在