) *(
&
即有 *+ & 处取得 /
& ’( ) *( & ’( ) *( 9 ( 9 $%+ , $ &’ ( ,8 $%+ $ &’ ( , , # ) )
而且等号成立 # 当且仅当 + *+ *1*+ *+ /因此 ( 5 & & ’(
7 ) *( 7 ) *( 9 ( 9 $ %+ , 78 $ %+ 7 , ) )
& & 2即 & & + 7 & 取得最大值为 *2于是有 5 4 % % $% 6 # * 7 !* 9 .% & 8% + , & / / / 0 + / 0 + & & , , 2 取得最大值的原因时 计算得 < = > < = 注 文献 : 在说明 (在 *2#2# + ; $# # 0 1 ,及 , & & & < % < % < % % / ? / / , , < = < = > , 从而得出 @ 但该计算是错误的 # 实际 上 ,0 " 而 从而无 法得出 0" # A" 4 # 0 * B? # = / < % % < % % < % / ? / ? / , A" 4 @=
J 两个平均值不等式的一阶导数证法
定理 J 设 K 则 M* A N+ A ! A OA A QRA L P P L
P L N+ P L N+ P L N+ P L N+ + T P W W # SK $ T PU # VK $ A # SK T P $ X# SK $ T P # W U+ $ ( L L L L
* G B" # O G OAP Q# * G 0" # * G 01 Q# * G 0P Q4
* R S -
* R V -
* R Z -
* R @ -
其中 J 当G 得到加权调和平均值 \ 当G 得到加权几何平均值 \ 当G 0 .F 4 01+时 # 0"时 # 0+ & /
/ 0+
时# 得到加权算术平均值 9 * G * G 定理 ] H& 是G 的连续函数 9当 F 就变为下述定义 , * # 0$0F 0+时 # # 4 % F H& * % F + & 定义 ] 设 % 是正数的有限数列 # 是广义实数 # 则G 阶平均值定义为 0* # $# % % G + &
第! !卷
第 "期
华 侨 大 学 学 报 #自 然 科 学 版 $ $ & . / 0 1 ’ & 2 3. 1 4 5 1 &60 5 7 8 / 9 5 : ;# )1 : . / 1 ’ < = 5 8 0 = 8
( ! ! )& ( " %& ’ ( ! * * + . ’
! * * +年 ,月 文章编号
阶平均值 C D
调和 3 几何和算术平均值 # 仅仅是下面将要定义的更一般的平均值的特殊情形 9 定 义 E 对于 正数列 % 正 权数 F 和广义实 数 G 阶加权平均 # $# # # $# 0* 0* # % F % F G + & + & 值定义为
G G + K .F M7 % / / * G 0+ H& * % # F -0 / L J & N I J * G / 8% * % # F -0 T H& /U / 0+ I * G H& * % # F -0 WX Y * % # $# % + & I * G H& * % # F -0 WS [ * % # $# % + & & I & + 7 J & &a学 学 报 * 自 然 科 学 版+
; C C 5年
函数 ! 即对于 "#$% &’ $(# 有
* % + * ’ + ), * ! . +& ), * ! . + /
7
作B 辅助函数为 C D E C F D G L $ + # + # 1# + # M ,* + + 1+ $ %+ , 6 ( 5 7 ( 5 7’ M )2 I
) *(
$ 5 ,
L N L I 从而 令N 解得 + *" # *" # *+ *1*+ * # ( 5 7 N + N M 7 ) J $ + # + # 1# + ,* + + 1+ ( 5 7 ( 5 7 7 I I I 有唯一可能的极值点 $ # # 又 J在有界闭区域 O 2I *" # 1# , 6 $ # # 1# , %+ !" # ) + + + + + ( 5 7 ( 5 ) *( 7 7 7
+ T Z 由假设 # 所以 [ 的最小值大于或等于 * YOYK $ T \^ K OK $ ( $ T U# $ A C从而 A Z SK Z VK [ Z + Z L L L N+ L N+ Z Z Z
Z
收稿日期
! * * * > + ! > + ?
作者简介
宋海洲 # 男A 讲师 + a , + > $ A
* ^ S -
* ^ V -
* ^ Z -
H * % -0 WS [ * % # $# % * G 0P Q4 * ^ @ + & 当G 得到调和平均值 # 当G 得到几何平均值 \ 当G 则可以得到加权算术 01+时 # 0"时 # 0+时 # 平均值 4
_ 平均值的不等式推广形式和其证明
* 1+ * " * + 定理 +的结论是 H& 我们有更为一般的结论 9 * 6H& * 6H& * 9实际上 # % % % * G * G 定理 C 若 % 则 H& 否则 # 是 关于 G 的严 格递增 0% 0$0% 0% # * # 0% 4 # % F H& * % F + , & " "
Z Z [ [ 时A] 而当 K 时A] 因此 A ^ ^ # Y+ $ K OK _* ‘ N\# YOYK $ Y# Y+ $ K OK M* ( Z K Z + Z Z Y+ + Z + Z ] K ] K Z Y+ Z Y+
取得唯一最小值 A 该唯一最小值为 Z ^ N\# YOYK $ Y# Y+ $ K OK OK # # [在 K K Z K K K Z Y+ + Z + Z + ! Z +
9 9 ( 9 由假设 $ 故 0 的最小值大于或等于 " 从而 0 $ $ , , , 6 , 8$ , # # !" /而 0 的 %+ & %+ & %+ & ) ) ) ) *( ) *( ) *( & & &
最 小值要等于 " 当且仅当 + 这时最小值在 + # *+ *1*+ *$ , *+ *+ *1 %+ & ( 5 & 成立 / & ’( ) ( 5
对一切自然数 7成立 # 而且等号成立 # 当且仅当 + *+ *1*+ 6 ( 5 7
证法 A的修正 = 均值不等式文献 > ? @
H @ 证法 > /设 B C D E C F D G 7 ) *(
%+ *" # J $ + # + # 1# + ,* + + 1+ )2 I ( 5 7 ( 5 7 * K6
&
&
等号成立 # 当且仅当 + *+ *1*+ / ( 5 7
9 ( 9 9 ( 9 显然成立 /假设 7 有$ 而且等 *(时 # ( 8$ ( , *&时 # , 8$ , $ 5 ,当 7 + + %+ & %+ & ( ( ) ) ) *( ) *( 9 号成 立 # 当且仅当 + 构 造 函 数 0$ /当 7 , * $%+ $ ’( , , 2 *& ’ (时 # & + ) (* + 5* 1 * + & & ’( ) *( & ’( & &
! G 文献F 给 出了下 面两 个有关平 均 值的 不 等 式 F 的 "种 证 明 方 法 C本 文 修 正 了 其 证 法 " + G 乘数法 $ 并给出了这两个有关平均值的不等式的只用一元函数一阶导数的证明方 # A H 1 I / 1 0 I 8 法 C进一步 A 给出了有关平均值的不等式推广形式及其证明 C
+ * * * > ? * + " # ! * * + $ * " > * ! ! + > * @