课堂互动讲练
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
基本方法
思考：
从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较 两个实数的大小？ 要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它 们的差a - b 与0的大小. 在这里，0为实数比较大 小提供了“标杆”.
例1 比较 x 2 3 与 3x的大小 解 ： ( x 2 3) - 3x 作差 2 x - 3x 3 变 ： 2 2 作差比较大 3 3 2 ( x - 3 x) - 3 小 2 2 2 3 3 分四步进行 x - 形 2 4 >0 2 x 3 3x
a b a-b0 用数学式子表示为: a b a-b0 表示“等价于” a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
(ii)如果a b, c d , 那么a c b d .(同向不等式相加
如果a b 0, c d 0, 那么ac bd . （ⅲ）
1 (ⅳ) 如果a ＞ b，ab ＞0则 a
(同向正数不等式相乘) ＜
（同号两数，大的倒数较小，小的倒数较大。）
1 b
例2
1 1 1 c-d 证明 : c d 0, cd 0, c - d 0, 0, - 0 cd d c cd 1 1 a a 性质4 0, 又a 0, 0, ① d c d c 1 a b 又 a b 0, 0, 0, ② 性质4 c c c
a b 还有其他方 a b 由①②可得 d c 0, d c
实数的大小与它们的差的关系
a b 已知a b 0, c d 0, 求证 d c
法吗？
性质6
性质2
c>d>0 {
1 1 c d 0 cd cd
c>d 性质cd 4o
1 1 0 d c
课堂互动讲练
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
⑴⑵与⑶⑷ 反向。
同向不等式: 在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边 或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同).
异向不等式： 在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而 另一个的左边小于右边(不等号的方向相反).
基本概念
ห้องสมุดไป่ตู้
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式. 其它重要概念: 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
课堂互动讲练
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
课堂互动讲练
(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)． n ＞ (6)如果a>b>0，那么 a b(n∈N，n≥2)． n
3．对上述不等式的理解
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条
件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得 同向不 等式；②c＝0时得 等式 ；③c<0时得 异向 不等式．
基本理论
研究不等式的出发点是实数的大小关系。 1.实数在数轴上的性质: 数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用 数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
数轴上 的点
一一对应
实数
2 O
p
x
基本理论
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别 是A 、B ，那么，当点A在点B的左边时，a < b； 当点A在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b， 那么a-b是正数；如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b， 那么a-b是负数；反过来也对.

断号 作结
常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等； 变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平 方式等.
课堂训练
例 2 比较（x+3)(x+7)和（x+4)(x+6)的大小
解：因为 （x+3)(x+7)-（x+4)(x+6) 作差
（x 2 10x 21） -（x 2 10x 24） -3 ＜ 0
乘法法则
(4)如果a b, c 0, 那么ac bc;如果a b, c 0, 乘方法则 那么ac bc. (5)如果a b 0, 那么a n b n ( n N , n 2). 开方法则 n n (6)如果a b 0, 那么 a b(n N , n 2).
基本性质 由两个实数大小关系的基本事实，得出不等 对称性 式的基本性质: (1)如 果a b, 那 么b a; 如 果b a , 那 么a b.即 传递性 abba (2)如果a b, b c, 那么a c.即a b ,b c a c 加法法则
(3)如果a b, 那么a c b c.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
课堂互动讲练
1 比较（x+1)(x+2)和（x-3)(x+6)的大小
解：因为 （x+1)(x+2)-（x-4)(x+6)
（x 2 3x 2） -（x 2 3x-18） 20 ＞ 0
所以 （x+1)(x+2) ＞ （x-3)(x+6)
课堂小结与作业
变形 断号 作结
所以 （x+3)(x+7) ＜（x+4)(x+6)
尝试探索，建立新知
等式有“等式两边加或减同一个数，等式仍 然成立”， “等式两边乘或除以同一个数，等式 仍然成立”等性质，类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
等式的基本性质是从数的运算的角 研究实数的关系时联 度提出的。同样的，由于不等式也研究 系实数的运算，是一 实数之间的关系，所以联系实数的运算 种基本的数学思想 （加，减，乘，除，乘方，开方等）来 思考不等式的基本性质非常自然的。
注意：
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问 题”； 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明； 2.要会用自然语言描述上述基本性质； 3.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问 题的理论基础.
例如，利用不等式的基本性质可以得到下 列结论： (i )如果a b c, 那么a c - b. (移项法则)
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式； 同解不等 式． 2.比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；
3.不等式的基本性质. （6条） 课外作业： 1.p9第一题（写在书上) 2.记忆并默写不等式的基本性质。 2.P9第二题（写在本上）
选修4-5
1.1.1 不等式的
基本性质
基本概念
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1 a+3 > 3a 3x+1< 2x+6 X<a --------------(1) -------------(2) --------------(3) --------------(4)
不等号的方 ⑴与⑵、⑶ 向之间有什 与⑷同向， 么关系？