第二章 系统的数学模型
学习要求
掌握用分析方法建立物理系统数学模型的过程； 了解一、二阶线性系统微分方程的标准形式； 掌握传递函数的定义、求法、典型环节的传递函数描述； 掌握结构图化简和简单梅逊公式求系统的传递函数； 了解MATLAB软件对线性系统建模和分析方法。
学习内容
2-1 系统的微分方程 2-2 拉普拉斯变换 2-3 传递函数 2-4 系统框图及简化 2-5 信号流图与梅逊公式
（1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所 有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之 和等于所有流进节点的电流之和）。
（2）基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路 中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。
典型元件所遵循的物理定律
➢ 电阻
➢ 电感 ➢ 电容
例
LR
ui
i
C uo
ui
(i)
Ri(t)
L
d dt
线性系统
可以用线性微分方程描述的系统
dn
dn1
an dtn xo(t)an1dtn1 xo(t)Ka0xo(t)
bmddtm mxi(t)bm1ddtm m11 xi(t)Kb0xi(t)
线性是指系统满足叠加原理，即
可加性 f(x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) 齐次性 f(ax)af(x)
线性定常系统
a ( t ) & x & ( t ) b ( t ) x & ( t ) c ( t ) x ( t ) d ( t ) y ( t )
线性时变系统
y(t) x2(t)
非线性系统
例 判断下列微分方程表达的系统是线性系统 还是非线性系统？
（1） xo(t)t& x& i(t)xi2(t)
则 f(t) 的拉氏变换，记作
F(s)L[f(t)]f(t)estdt 0
L：拉氏变换符号； s：复变量； f(t)：原函数； F(s)：f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
拉氏反变换的定义
将象函数 F(s)变换成与之相对应 的原函数 f(t) 的过程
f(t)L1[F(s)]21j
非线性
（2）& x & o (t) 3 x & o (t) 8 x o (t) x i(t)
线性定常
（3） xo(t)costxi(t)
线性时变
（4）3 & x & o ( t) x o ( t)x & o ( t) 2 x o ( t) 5 x i2 ( t)
非线性
本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、 差分方程、状态方程
bmddtm mxi(t)bm1ddtm m11 xi(t)Kb0xi(t)
线性定常系统：方程的系数an, bm是常数；
线性时变系统：an, bm是时间的函数；
非线性系统：an, bm中只要有一个系数依赖于xo(t) 和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现其 它函数形式。
例
a & x & (t) b x & (t) c x (t) d y (t)，其中a,b,c,d均为常数。
i(t)
uo
(i)
i(t
)
C
d dt
uo
(t
)
L Cd d t2 2u0(t)R Cd d tu0(t)u0(t)ui(t)
相似系统
若忽略系数的物理意义，则机械位移系统和电网络系 统的数学模型具有相同的形式，这种系统叫做相似系统， 揭示了不同物理现象之间的相似关系。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，相似系统 输出的响应相似。
输入量 C
F
t
fC
t fK fK t
t m Kxo t
d2 dt 2
xo
t
o
fC
t
C
d dt
xo
t
输出量
m d d t2 2xotC d d txotK xotF t
电网络系统微分方程的列写
电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和 电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学 模型。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构及其参数。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制工程中的一 个基本数学方法，其优点是能将时间 函数的导数经拉氏变换后，变成复变 量s的乘积，将时间表示的微分方程， 变成以s表示的代数方程。
拉氏变换的定义
设时间函数 f(t)满足狄里赫利条件，其中 t 0
LR
ui i
C uo
d2
d
a 2d t2x0(t)a 1d tx0(t)a 0x0(t)b 0xi(t)
小结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的分析研究。 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次 等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。
机械系统微分方程的列写
机械系统中部件的运动有直线和转动两 种，系统中以各种形式出现的物理现象，都 可简化为质量、弹簧和 物体的加速度与其所受的合外力成正比，与 其质量成反比，且加速度与合外力方向相同 F=ma。
典型元件所遵循的物理定律
例 直线运动（机械平移系统）
复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立
建立微分方程的步骤：
分析系统的工作原理和信号传递过程，确定元件 或系统的输入量和输出量；
从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各 变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部 件的动态微分方程。注意负载效应。
消去中间变量，推出只含输入、输出量及其导数 的微分标准方程，即右端输入，左端输出，导数 降幂排。
一、概 述
数学模型
描述系统或元件的动态特 性的数学表达式
建模
深入了解元件及系统的动态特 性，准确建立它们的数学模型
建立系统数学模型的方法
分析法
对系统各部分的运 动机理进行分析，依 据系统本身所遵循的 有关定律列写数学表 达式，并在列写过程 中进行必要的简化。
实验法
根据系统对某些 典型输入信号的响应 或其它实验数据建立 数学模型。即人为施 加某种测试信号，记 录其输出响应。
非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。
在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非 线性关系，可进行如下处理：
线性化； 忽略非线性因素； 用非线性系统的分析方法。
线性系统和非线性系统的判别
设某系统的微分方程
an
dn dtn
xo(t)an1
dn1 dtn1
xo(t)Ka0xo(t)