高三数学思想、方法、策略专题第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二．命题趋势数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。

预测高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。

（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。

（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。

（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。

三．例题点评题型1：集合问题例1．（2004年全国高考试题卷III ）设集合M x y x y x R y R {(,)||}221+=∈∈，，，N x y x y x R y R =-=∈∈{(,)||}20，，，则集合M N 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）（2004年全国高考题卷I ）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ）A C AB IB C A C B I C A C B D C A C B C B I I I I I I I .().()().().()() ====φ解析：（1）将集合M N 中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆x y 221+=与抛物线x y 20-=交点的个数。

因此在同一坐标系内作出圆x y 221+=和抛物线y x =2的图象，观察可得选B ；（2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B 项不正确，故应选B 。

IB图2 A点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。

题型2：函数问题例2．（1）已知函数α,β满足,15323=+-ααα55323=+-βββ，求β+a 的值；（2）关于x 的方程0cos sin 2=++a x x 在［0，π］内有解，求a 的取值范围。

解析：（1）构造函数,3)1(2)1(53)(323+-+-=+-=x x x x x x f 则有.5)(,1)(==βαf f又t t t g 2)(3+=在R 上是单调递增的奇函数，且 .23)()1(-=-=-ααf g故211)1()1()1(=+⇒-=-⇒-=--=-βαβαββαg g g 。

（2）分析：此题就直接解三角方程再确定a 的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求45)21(cos 1cos cos 22--=--=x x x a 在]0[π，∈x 的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，很快得到了a 的取值范围是]145[，-。

点评：构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。

题型3：不等式问题例3．（1）已知a ，b ，m R ∈+，且a b <，求证：a m b m a b++>； （2）已知a >0，b >0，且a b +=1，求证：()()a a b b ++≥11254。

解析：（1）分析1：a b ，a m b m++的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题。

图1证法1：如图1，设A （b ，a ），B （-m ，-m ），其中m >0。

因为0<<a b ，则直线OA 的斜率：k a bOA ==<tan α11 直线AB 的斜率：k a m b m AB ==++<tan α21 因为B 在第三象限的角平分线上，所以AB 必与x 轴正半轴相交，且有0412<<<ααπ 所以tan tan αα21>，即a mb m a b ++> 分析2：a b ，a m b m++的形式与相似三角形中的对应线段成比例类似，所以可联想到构造相似三角形来解题。

,23)()1(=-=-ββf g图2证法2：如图2，在Rt ABC ∆和Rt ADF ∆，AB a =，AC b =，BD m =，作CE//BD 交DF 于E 。

因为∆∆ABC ADF ~，所以a b a m b CF a m b CE a m b m =++<++=++（斜边大于直角边）（2）令f x x x ()=+1，x ∈(,)01。

因为f x x '()=-112，当x ∈(,)01时，f x '()<0，所以f x ()在（0，1）上是减函数。

又021412<≤+=<ab a b ()，所以f ab f ()()≥14，即ab ab +≥+=1144174。

所以()()()a a b b ab ab b a a b++=+++111 ≥++≥+⋅=+=17417421742254()b a a b b a a b 即原不等式成立。

点评：联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果。

由联想而引发的构造称之为联想构造。

题型4：三角问题例4．（1）已知a b R ，∈，且a b 221+≤，求证：a ab b 2222+-≤； 证明：设a r b r ==cos sin θθ，，其中[)r ≤∈102，，θπ则a ab b r r r 222222222+-=+-cos sin cos sin θθθθ =+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪≤r r r 222222242cos sin sin θθθπ ∴+-≤a ab b 2222原不等式得证。

点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。

（2）若04<<<+=+=αβπααββ，，sin cos sin cos a b ，则（ ） A ．a b < B ．a b >C ．ab <1D ．ab >2解析：若直接比较a 与b 的大小比较困难，若将a 与b 大小比较转化为a b 22与的大小比较就容易多了。

因为a b 221212=+=+sin sin αβ，又因为0222<<<αβπ 所以sin sin 22αβ<，所以a b 22<又因为a b ，>0，所以a b <故选（A ）。

点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。

题型5：数列问题例5．等差数列{}a n 的前n 项的和为S n ，且S 10100=，S 10010=，求S 110。

解析：显然公差d ≠0，所以S n 是n 的二次函数且无常数项。

于是设S an bn n =+2，()a ≠0，则a b a b ⨯+⨯=⨯+⨯=⎧⎨⎩10101001001001022，解得a b =-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1110011110。

所以S n n n =-+11100111102，从而S 11021110011011110110110=-⨯+⨯=-。

点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。

数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。

如等差数列{}a n 的通项公式a a n =+1()()n d dn a d -=+-11，前n 项的和公式S na n n d d n a d n n =+-=+-1211222()()。

当d ≠0时，可以看作自变量n 的一次和二次函数。

因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。

题型6：立体几何问题例6．（1）如果，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA ，BC 的公垂线ED=h ．求证三棱锥P —ABC 的体积216V l h =。

分析：如视P 为顶点，△ABC 为底面，则无论是S △ABC 以及高h 都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以V P－ABC=V P－ECD+V A－ECD=13S△ECD•AE+13S△ECD•PE=13S△ECD•PA=13•12BC·ED·PA=216V l h。