运用转化与化归思想方法解题1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程．2．转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果．非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．3．常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；A，而（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合（10）补集法：eAUU 获得，通过解决全集及补集把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U原问题的解决．化归思想练习题（1）一、选择题2＝12y的焦点，A，C：xB，C为抛物线上不同的三点，F1．(2015·武汉调研)设为抛物线→→→若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．3B．9 C．12 D．18 答案D解析设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，因为A，B，C为抛物线上不同的三点，则A，B，3321212＝12y的焦点为F(0,3)C：x，准线方程为y＝－3.C可以构成三角形．抛物线→→→因为FA＋FB＋FC＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F为△ABC的重心，从而有x1＋x＋x＝0，y＋y＋y＝9.又根据抛物线的定义可得|FA|＝y－(－3)＝y＋3，1231312|FB|＝y－(－3)＝y＋3，|FC|＝y－(－3)＝y＋3，3223118.9＝＋3＋y＋3＝y＋y＋y＋y所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋3＋y3113222x2上任意一点，为椭圆C)已知点F是椭圆C：＋y＝1的左焦点，点P．2(2015·唐山调研2)P，则当|PQ|＋|PF|取最大值时，点的坐标为(点Q的坐标为(4,3)14B答案D．(2，0) B．(0，－1) C．(，) A．(，－20) 33，根据椭圆的定E(1,0)(解析由题意知椭圆的左焦点为F－1,0)，设椭圆的右焦点为E，则|PE|)，易知|＝PQ22＋(|PQ|－|PE|，所以|PQ|＋|PF|＝|PQ＋|22－|PE|义，知|PF|＝22－|时，等号成1)的坐标为(0，－P|PE|≤|QE|，当且仅当是QE的延长线与椭圆的交点，即P－．，－1)2，此时点P22＋的坐标为32＝(0立，故|PQ|＋|PF|的最大值为522＋|QE|＝16411)(＝1，则＋的最小值为(2015·南昌调研)若正数a，b满足＋3．ba1ba－－1A 答案D．49 B．25 C．36 A．1611 ab，a＋b＝，b>0，＋＝1，所以因为解析a ba20a－4b＋16b－＋a－16420. a－所以＋＝4b ＋16＝＝1b＋－＋abb－b1－aaa－－1ab4a11b42＋4×)≥20＋4()(＋)＝20＋＝4(b ＋4a)＝4(＝·36，b＋4a又4b＋16a abababb4a113当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．baab2416≥36－20＝16.＋所以－1b－1aππ4．若α、β∈[－，]，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是()2222 答案βD．αD > βα＋>0 C．α<βA．α>βB．πππ解析令f(x)＝xsinx，∵x∈[－，]，f(x)为偶函数，且当x∈[0，]时，f′(x)≥0，222ππ]上为增函数，在[－，0]上为减函数．∴αsinα－，∴f(x)在[02222α|??|α|>|ββsinβ>0?f(|α|)>f(||)β. β>→→→→5．(2015·九江模拟)在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，点D满足2BD＝3DC，∠BAC＝60°，→→)(·ADBC＝则9898D．－ C. D 答案B. A．－5555→→→→→→→→→→→→333)＋AB ＝BD＋ABAD，所以BCBD，所以DC3＝BD因为解析2＝＝BCAB－AC＋AB＝(5552→→→→→→→→→→→→→→→2313232322AB－－AB·AC)·(AC－AB)＝AC)·.所以AD·BC ＝(AC＋ABBC＝(AC＋AB＝AC＋AB5555555559231222. ＝－cos60°－×3＝×2－×2×3×5555)≤2x1≤f(logx，若在[1,8]上任取一个实数x，则不等式f6．(2015·太原模拟)已知函数(x)＝020)成立的概率是(1211C 答案 D. B. C. A. 243724－2，∴所求概率为2≤x ≤4)≤2?1≤log≤2?.解析1≤f(xx＝000271－8的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的)棱长为a7．(2015·广州调研)(体积为3333aaaaC 答案 D. A. B. C.12463棱锥的底面为正方形且边长为所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，解析3a2a212. ＝)·＝2×(aa，高为正方体边长的一半，∴V2262318．(2015·保定模拟)已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间＋xf(－1,1]上方程f(x)－mx －m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()1111A．[0，) B．[，＋∞) C．[0，) D．(0，] 答案D2232解析方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根等价于方程f(x)＝m(x＋1)有两个不同的实根，等价于直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图像有两个不同的交点．因为当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，，1][0，xx，∈??1?在同一平面直角坐标系内作出＝f(x)－所以f(x)＝1，所以11＋x，∈－1－1，x??1x＋直线y＝m(x＋1)与函数f(x)，x∈(－1,1]的图像，由图像可知，当直线y＝m(x＋1)与函数f(x)31 ，]．1,1]－上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0的图像在区间(2 二、填空题22分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直4－2)＝＋y9．过点(1，2)的直线l将圆(x________. k＝线l的斜率2由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直答案解析2垂直时，弦长最短．此时直线，2)的连线与直线(2,0)与点(1l的距离最大，所以当圆心线l2. ＝的斜率kl22两点，与抛BM(3，0)的直线与抛物线相交于10．设抛物线yA＝2x的焦点为F，过点，4S△BCF△ACF的面积之比＝________.答案|物线的准线相交于点C，BF|＝2，则△BCF与5S△ACF222x并整理，得k＝的直线方程为0)y＝k(2x－3)，代入y解析如图所示，设过点xM(3，223k22. ＝x＋x2)3k＋x＋3k＝0.则(221k3132，所是方程的一个根，可得k′|＝2.不妨设x＝－BB因为|BF|＝2，所以|232223－22.＝以x11d|BC|·24′|2SBB|BC||△BCF. ＝＝＝＝＝5′|11S|AC||AA△ACF＋|·d|2AC22ππ11．(2015·山西四校联考)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f()＝f(－)，则函数f(x)图像的对称412轴为________．4ππππk)xf()＝f(－)，所以πk∈Z)解析易知函数f(x)的最小正周期为，而f(x答案＝＋( 124212πππk )．x＝＋(k∈Z x图像的一条对称轴为x＝，故函数f()的图像的对称轴为12122，x)>0′(x)－f(＝是定义在R上的偶函数，且f(2)0，当x>0时，xf12．(2015·河北五校联考)已知f(x)(0,2)2)∪答案(－∞，－则不等式xf(x)<0的解集是________．xffx是奇＝)，可知g((x)<0与不等式x<0同解．记g(x)xf解析显然x≠0，故不等式xxxfx－xff，g(2)＝＝0为增函数，又>0，此时函数，且当x>0时，g′(x)＝g(x)22xxf，的解集为(－∞，即不等式∞，－2)∪(0,2)xf(x所以不等式g(x)＝)<0<0的解集为(－x 2)∪(0,2)．－22yx为椭圆上一PF，设a＝1(>b>0)的两个焦点分别为F，13．(2015·衡水月考)已知椭圆＋2221ba，，S的垂线，垂足分别为，过F，F分别作lR点，∠FPF的外角平分线所在的直线为l22112 aS所形成的图形的面积为________．答案π当P 在椭圆上运动时，R，解析|PF|PF|＋|F是∠FPM的平分线，所以|MP|＝|P|，可得⊥如图，△PFM中，PRFM且PR211111M＝2，即动点aPF|＝2a，所以|MF|||PM＝||＋|PF|＝MF|，根据椭圆的定义，可得|PF＋|22212的轨迹是以点的中点，所以RO为FM的中点，为FFa到点F的距离为定值2，因为R2112所形S为圆心，半径为的轨迹是以点Oa的圆．故R，O为圆心，半径为a的圆．同理点S2.成的图形的面积为πa）转化与化归思想（2一、选择题13)－＝(1．(2014·衡水二调)sin 170°cos 10°D ] [答案．－．－．．A4 B2 C2 D4－cos 10°3sin 10°－1313 ＝＝－＝－解析[]1sin 10°cos 10°cos 10°sin 170°cos 10°sin 10°sin 20°252sin 20°－D. 4，故选＝＝－1sin 20°222yx⊥上一点，若PF>b>0)F为焦点的椭圆＋＝1(a2．(2014·南昌模拟)已知点P是以F，22112ba)＝(PFF＝2，则椭圆的离心率ePF，tan ∠1221125A [答案] A. B. C. D. 2333，|＝1F＝2，得|PFPF[解析]由题意可知，∠F＝90°，不妨设|PF|＝2，则由tan ∠PF2112125FF|2c|2122. ＝5，所以离心率2e＝从而|FF＝|＝1＝＋213a2||PFPF||＋21的对称中心，过曲线y＝1＋sin πx(0<x<2)3．(2014·福建质检)若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)21) 则＋的最小值为(baC ]22 D．6[ B．42 C．3答案＋A.2＋1，过点(1,1)1＝0(a>0，b>0)＝∵y1＋sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1)，∴直线ax＋by－[解析] a2b??，＝21a12b2??ba?＋，当且仅当＋2≥32即＋＝a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)3＋∴??babaab??，1a＋b＝?，a＝2－1?C. 时取等号．故选?22－b＝Bsin 若asin A ＋baABC中，角A，B，C所对的边长分别为，b，c.4．(2014·益阳质检)在△) sin B．则角C等于－csin (C＝3a5ππππA [答案]D. C. A. B.63643222222，C，∴cos ＋bC－c＝][解析利用正弦定理，得到a＝＋b2－caba＝3ab，又cos 2π.＝<π，∴C又0<C6成等差数列，aa，a＝1，公比q≠1，且a，泉州质检5．(2014·)已知等比数列{a}的首项31n21)(则其前5项的和S＝5C][答案．A．31 B．15 C．11 D52＝a＝2q，解得q＋1，∴aa＝2a＝2，∴aq＋成等差数列，且∵[解析]a，a，aa＝11123311255－1－a－q1＝11.故选)，∴S ＝＝C.1(－2或q＝舍去5－1－1－q2nπ*)，若数列{a}的a＝cos(n∈N＋＝a7．(2014·锦州模拟)数列{}满足a＝a1，a＋a n2nn11n2n＋＋3前n项和为S，则S的值为()2 013n671A．2 013 B．671 C．－671 D．－[答案]D22π1[解析]因为a＋a＋a＝a＋a＋a＝…＝a＋a＋a＝cos＝－，3613n3n3512342n＋＋＋2361π2n??*－671×＋a＋a)∈N＝)以3为周期，所以S＝671×(acos＝所以a＋a＋a＝(n??3n21n22 013n1＋＋23671D. －，故选2→→→)，则边BC的值为(AC＝2，向量BC⊥(AB＋3AC)8．在△ABC中，AB＝2C][B.3 答案C.6 D．6 A.2→→→→→→→→→→→→AB)·(所以(AC－AB)所以BC·(AB＋3AC＝0，[解析]因为BC＝AC－AB，BC与AB＋3AC垂直，1→→→→→→→→→→→22＝|cos A|AC|·|AB·AB＝0，即AC·AB＝－，所以＋3AC)＝0AC·AB－AB＋3AC，所以－3AC2111222所以，2×2×1×＝6|·|AC|cos A＝4＝－，所以|BC|＋＝|AB|1＋|AC|＋－2|AB－，所以cos A442C.6.|BC|故选＝，≤00，x??有零点m)＋x－则使函数g(x)＝f(x10．(2014·吉林实验中学模拟)已知函数f(x)＝?x，>0e，x??)的实数m的取值范围是(1)∞，B．(－A．[0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]1]C．(－∞，∪(2，＋∞)D[答案]的＋x＝m－m的零点就是方程f(x)([解析]函数gx)＝f(x)＋x，≤0，xx??的＝mx根，作出h()＝的图象，观察它与直线y?x>0，xe＋x??xx)＋g(x)＝f(交点，得知当m≤0时或m>1时有交点，即函数－m有零点．上的可∞，0)(x)是定义在(－11．(2014·长春二次调研)设函数f2x，则不等式xf′(x)>x(2导函数，其导函数为f′(x)，且有f(x)＋2)f(－2)>0的解集为＋2 014)(f(x＋2 014)－4C (．－2 016,0)[答案]．(－∞，－2 016) D2 012,0) A．(－∞，－2 012) B．(－C232232，则)f(x<0，令F(x＋x)f′(x)<x＝，即[xxf()]′<xx))解析[]由2f(x＋xf′(x)>x，x<0，得2xf(x2，x＋x(2 014＋)2 014)·f(在x)(－∞，0)上是减函数．因为F(x＋2 014)＝x当x<0时，F′()<0，即F(上是减函数，，0)x)在(－∞因为所以原不等式即为F(2 014＋x)－F(－2)>0.F(fF(－2)＝4(－2)，C.，故选－2，即x<2 016)>F(－2)，得2 014＋x<－x所以由F(2 014＋B－AC22)C的最大值为3cos(＋5cos＝4，则tan ABC12．(2014·杭州二检)在△中，若22234B] [答案．－22 CA．－B．－．－D434A－B11＋＋cos C－ABC22＋＝4，得3·5·＝4，][解析由已知3cos＋5cos22220.C5cos ＝BA则3cos(－)＋1 cos 0)＋5cos()－3cos(AB－AB＝，化简得，Atan Atan Bsin A＝Bcos 4sin ，则B，＝47B＋tan tan A )＝－C＝－tan(A＋B又由此可知，tan A>0，tan B>0.tan Btan 1－tan A44 ＝1，≥2tan Atan B(tan A＋tan B)≤－，其中tan A＋tan B＝－334B.C的最大值为－，故选因此tan 3 二、填空题Cbcos c，且满足ccos B－ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，设△13．(2014·大连模拟)1tan B3 ]＝a，则＝________.[答案4C5tan3 A，sin Bcos C＝sin [解析]由正弦定理，得sin Ccos B－53 )，展开右边并整理，得＝sin(B ＋Csin Ccos B－sin Bcos C51tan B.，所以＝＝8sin Bcos C2sin Ccos B4Ctan224|－|PB＝－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|14．(2014·苏州调研)在直角坐标系xOy中，已知A(222 ________．[x答案＋y]＝4上的点P的个数为且在圆222222，化简－1)4＋y＝－x－，B(0,1)则|PA|(－|PB|y＝(x＋1))[解析]设P(x，y，又A(－1,0)22到直(0,0)＝4－2＝0与圆x的交点问题．由圆心＋y得x＋y－2＝0.问题可转化为直线x＋y2|0|0＋－2.，所以直线与圆相交，故交点个数为＝r＝2＜线的距离，得d2＝222和圆＝0x－：x4＋yy－4}((2014·长春调研)已知数列{an＝1,2,3，…，2 012)，圆C15．1n22 ________．{a}的所有项的和为，若圆C平分圆C的周长，：x＋y则－2ax－2ay＝0C n2n21n2 013－4 024][答案2222－xy＋4x－4yC交于A，B两点，则直线AB的方程为：x－＋y(－[解析]设圆C与圆210.＝－2)y＋a－2)x(a2ax－2ay)＝0，化简得，(nn2 013n2 013n－－a＋AB的方程得：aC(2,2)，将C(2,2)代入又圆C平分圆C的周长，则直线AB过n110132 n12－4 024. ＝1 006×4a＋a)＝a)＋(a＋)＋…＋(＋＝4，∴a＋a＋…a＝(a＋a1 007222 012111 0062 0122 01121x＋2y＋222＝πx的最小值＋cos1)＋(y，则xx16．(2014·宁德质检)若实数，＋y满足1y＋2x2]答案为________．[21＋2yx＋12，又20yπx＞≤2，∴x＋[解析]＋＋2y＝x∵1≤1＋cos y＋22yxx＋1y＋2≥2x＝2(当且仅当x＋2y＝1时取等号)，x＋2y，＝kx?2?，x＝1，＝kπZ k∈，ππx2cos??12y＋＋x??2?＝xπ＋cos2，∴)，k∈Z(1∴＝??k －1y＋x2，＝11＋x2y＝，x＋2y＝y??????233k3－9955??????222222222－1－k≥×1)(y＋，∴2＋＝，故x＝k＋(∴x＋y1)＝＋，∵＋k∈Z x＋??????55455422的最小值为2.1)y＋(＋8。