几种特殊函数的图象及性质
备课教师：刘彩伏
教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待
定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观
察出它们的性质。
2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴
的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方
法。
教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。
教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。
计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析
与训练）
教学过程：
一、基础知识复习
1、正比例函数
[定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。
[性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在
二、四象限内，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数
[定义]：函数x
k y =(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：双曲线。
[性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。
3、一次函数
[定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。
（注意：当b=0时，就成为正比例函
数）
[图象]：经过（0，b ），（k
b -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。
（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距）
[性质]：
①k>0时， y 随x 的增大而增大⎩
⎨⎧<>象限时，直线过一、三、四象限时，直线过一、二、三00b b ； ②k<0时， y 随x 的增大而减小⎩⎨⎧<>象限时，直线过二、三、四象限时，直线过一、二、四
00b b ；
4、二次函数
[定义]：函数y=ax 2+bx+c （其中a,b,c 是常数且a ≠0）。
[图象]：抛物线
[性质]：
①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
②顶点：)44,2(2
a
b a
c a b -- ；对称轴：a b x 2-= 。
（注：可对y =ax 2+bx+c 用配方法来求顶点与对称轴，即：若配方得y =a(x+h)2
+k ，
则顶点为（-h ，k ），对称轴为x =-h ，而y =a(x+h)2+k 也被称为二次函数的顶点式） ③最值与增减性：a>0时，函数y 当a b x 2-=时，有最小值a
b a
c 442
-，且a b x 2->时，增，a b x 2-<时，减；a<0时，函数y 当a b x 2-=时，有最大值a
b a
c 442
-，且a b x 2->时，减，a
b x 2-<时，增。
④与坐标轴的交点：与y 轴交于点（0，
c ）；与x 轴的交点个数要由Δ判定（注意
理解一元二次方程与二次函数两者的联系）。
二、题型分析练习
1、利用函数概念与性质解题
例1：在函数1992)92(+--=m m x m y 中，当实数m 为何值时，
(1) 此函数为正比例函数，且它的图象在第二、四象限内；
(2) 此函数为反比例函数，且它的图象在第一、三象限内。
[分析]：同时考虑系数与x 的次数的取值，利用正、反比例函数的概念和性质可解。
[注意]：对系数(2m-9)的限制，要考虑图象的情况。
[解]：略。
例2：点A （a ，b ），B （a-1，c ）均在函数x
y 1=的图象上，若a<0，则b ？ [分析]：点在函数图象上⇔点的坐标满足函数解析式。
[解]：略。
例3：已知二次函数y=x 2-4x-5
①把函数化成顶点式；
②指出图象的顶点坐标和对称轴；
③画出函数图象
④利用函数图象解不等式x 2-4x-5<0。
[解]：略。
[练习]：1、已知点（2，5），（4，5）是某抛物线上两点，则此抛物线的对称轴方
程为？
2、《学力提升》27页例2。
例4：已知正比例函数ax y =1，反比例函数x
b y =2，在同一坐标系中这两个函数的图象没有公共点，则a 与b 的关系是（ ）
A 、同号
B 、异号
C 、互为倒数
D 、互为相反数
[分析]：由x b ax =得a b x =2，当a 、b 异号时，x 2<0，这样的x 不存在，所以选B 。
例5：若反比例函数)0(≠=k x
k y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数k kx y -=的图象经过第 象限。
[分析]：由已知k<0，-k>0，所以k kx y -=的图象经过第一 、二、四象限。
[练习]：《学力提升》30页16—20，32页8—13，33页15—21。
2、交点问题
[说明]：“交点”即两函数图象的公共点。
若已知两函数解析式，求其图象交点，可将两解析式列为方程组求解；若已知交点，求函数解析式中系数的值，可将交点坐标分别代入函数解析式求解。
例6：求两直线y=2x+3与y=-3x+8与x 轴所围成的三角形面积。
[分析]：分别求出两直线与x 轴的交点及两直线的交点，结合图形可求。
[解]：略。
[说明]：函数图象与x 轴的交点可令y 值为0来求；函数图象与y 轴的交点可令x
值为0来求；x(y)轴上两点间的距离等于两点横坐标（纵坐标）差的绝对值。
例7：若直线若直线y=-x+a 和直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=?
[分析]点（m ，8）既在直线y=-x+a 上，又在直线y=x+b 上，所以将x=m ，y=8分别代入两直线方程可解。
[解]：略。
例8：已知二次函数y=x 2+(n+3)x+3n ，讨论n 取何值时，二次函数的图象与x 轴有两个交点，一个交点，没有交点？
[分析]：二次函数与一元二次方程的关系：①Δ>0，二次函数图象与x 轴有两个交点；②Δ=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；③Δ<0，二次函数图象与x 轴没有交点。
[解]：略。
[练习]：《学力提升》33页第三大题第1小题。
3、待定系数法求函数解析式
例9：已知一次函数图象经过点（3，2）和点（-1，-6），求这个函数的解析式；并判断点P （2a ，4a-4）是否在函数图象上。
[分析]：可设一次函数解析式为：y=kx+b ，将已知点的坐标分别代入解析式，解方程组即可。
[解]：略。
例10：根据下列条件求二次函数解析式：
①已知抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为-1、3，与y 轴交点的纵坐标是2
3 ，求此抛物线解析式。
②已知二次函数的图象顶点坐标为（2，-5），图象经过点（0，-17），求其解析式。
[分析]：根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，是求二次函数解析式的
关键，注意二次函数解析式的三种形式：一般式（y=ax 2+bx+c ，其中a ≠0），两点式
（y=a(x-x 1)(x-x 2)，其中a ≠0,x 1，x 2分别为抛物线与x 轴两交点的横坐标），顶点
式（y=a(x+h)2+k,其中a ≠0,顶点坐标为（-h ，k ））。
因此①题可选用一般式或两点
式，②题可选用顶点式。
[解]：略
例11：（见《学力提升》27页例3）略。
[说明]：在解决函数问题时，涉及几何知识时，既要用几何知识也要充分考虑在
直角坐标系中的条件。
三、课后小结
本节课主要复习了四种基本函数的概念及其图象和性质（注意：要结合图象来观察记忆性质）。
另外，要熟练掌握用“待定系数法” 求函数的解析式的方法。
在解决函数问题时，注意用数形结合的观点分析问题的方法。
在学习中还应注意以下问题：
1、深刻理解解析式中字母a,b,c,k的含义将有助于对函数概念及性质的理解和正确
认识图象。
（例如：k相同的两直线平行；a相同的两抛物线开口方向、大小一致；
对抛物线，对称轴在y轴左⇔a,b同号，对称轴在y轴左⇔a,b异号；由Δ判断
抛物线与x轴交点的个数等）
2、二次函数中，将数型结合，找图形的特征，抓特殊点、轴（顶点、图象与两坐标
轴交点、对称轴）与a,b,c及Δ的关系寻求解题途径是常用的有效办法。
如：抛
物线的顶点就是最值点，知顶点可求对称轴，从而可知图象上某已知点关于此轴
的对称点也在图象上，知顶点还可列出关于a,b,c的两个方程……
四、作业布置
《学力提升》33——35页：三（2—12）。