h是确定性函数。这说明时间序列的方差与均值相关。 2. 均值具有非平稳性
Yt 0 1t Yt 1 Zt
考虑假设检验：
H0 : 1
即为单位根检验问题。
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一、时间序列数据的特性
(四) 平稳性 3. 总体自相关函数 对于一个平稳随机过程我们在协方差函数的基础上，可以定义其自相 关函数： ( ) ( ) / (0) 4.样本协方差函数 Ck 与样本自相关函数 rk 的计算公式分别是：
Ck t 1 (X t X )( X t k X ) / n
前言
本章的结构： （一）时间序列数据的特性 （二）平稳时间序列的分析模型 （三）非平稳时间序列与单位根检验 （四）协整与误差修正模型
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一、时间序列数据的特性
(一) 引言
一般来说，时间序列数据可以由两部分因素组成，即宏观因素和微观 因素，其中宏观因素可以通过趋势性和季节性来进行描述，微观因素一般 使用随机过程来进行描述。 t T、季节部分 假设时间序列 X可以被分解成三个部分，即趋势部分 t
12 (0) 2 (0) 2 /(1 12 )
(3)自回归过程的协方差
Cov Yt , Yt 1 (1) E[Yt 1 (1Yt 1 Z t )] 21 /(1 12 ) Cov Yt , Yt k (k ) 21k /(1 12 )
Tt t
时间序列的趋势部分可以通过下面几种方法进行确认。 1.最小二乘估计法 2.平滑法 3. 差分法
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一、时间序列数据的特性
(三) 季节性
季节性是指时间序列在一定的周期内会出现高峰和低潮的性质，一般 以一年为周期。季节性的识别很重要，因为它是时间序列趋势性的补充。 季节性的确认与趋势性的确认类似，主要有 1. 移动平均法 2. 季节差分法
VarYt (0) E (Yt 0)2 E ( Zt2 12 Zt21 ... q2 Zt2q 21Zt Zt 1 ...) 2 (1 12 ... q2 )
（3）MA（q）的协方差和自相关函数为
0, Cov(Yt , Yt k ) 2 q k i 0 ii k , q k / q 2 , i 0 i i k i 0 i (k ) 1, 0,
2 2 2 12 EYt (1 1 1 211 )
(0) 2 (1 12 211 ) /(1 12 )
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二、平稳时间序列分析模型
(1) Cov Yt , Yt 1
E[Yt 1 (1Yt 1 Z t 1Z t 1 )] 1 (0) 1 2 (1) 2 (1 11 )(1 1 ) /(1 12 )
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二、平稳时间序列分析模型
(4) AR（1）过程的自相关函数
(k ) (k ) / (0) 1k
这说明AR（1）过程有无限记忆性，过程的当前值和过去的所有时期的 值相关。 (5) 对于一个平稳的AR（p）模型，其协方差函数为
(k ) Cov Yt , Yt k E[Yt k (1Yt 1 ... qYt p Zt )]
EYt 1EYt 1 （1）以AR（1）模型为例，首先对式子两边同取期望，就可以得到 ，由 Yt 的平稳性，可得 EYt ＝0。
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二、平稳时间序列分析模型
(2)自回归过程的方差
VarYt (0) E (1Yt 1 Z t ) 2
2 2 E (12Yt 2 Y Z Z 1 1 t 1 t t ) 2 2 12 EYt 1 21 EYt 1 Z t EZ t
a
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二、平稳时间序列分析模型
（一）移动平均模型（Moving Average Models，MA模型） 2 1. 白噪声序列：令 Zt 为独立同分布序列且均值为0，方差为 ，即，
Zt : i.i.d.N (0, 2 )
如果我们只要求 Z 是不相关的，那么 Zt 就是所谓的白噪声序列（white noise se财政金融学院
二、平稳时间序列分析模型
(三)自回归－移动平均模型（Autoregressive－moving average model，即 ARMA模型） 1. 许多平稳过程可能同时具有自回归过程和移动平均过程的性质，因此 将两者综合起来就得到了自回归－移动平均模型。
Yt 被称为是ARMA过程，如果 Yt 是平稳过程，且满足
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二、平稳时间序列分析模型
(二) 自回归模型（Autoregressive Models, AR 模型） 1. AR模型的定义 AR模型是由时间序列的滞后项的加权和一个随机干扰项组成的，其具 体形式为：
Yt 1Yt 1 ... pYt p Zt
其中 EZtYt i 0, 式中p是自回归模型的阶数，上述模型一般以AR（p）来 表示。 2. AR模型的性质
1 ,2 ,...,q 被称为移动平均参数。
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二、平稳时间序列分析模型
3. MA模型的性质 （1）移动平均过程的均值与时间无关。注意到白噪声序列的所有随机 变量的期望均为0，则白噪声序列的加权所形成的MA过程的期望也必然是 0。 （2）q阶移动平均过程MA（q）的方差为：
Yt 被称为ARIMA（p，d，q）过程，如果 Yt 满足
(B)(1 B)d Yt (B)Zt
2 q p 其中 (B) 1 1B 2 B ... q B , (B) 1 1B ... p B
注意ARIMA（p，d，q）中的p和q可以为0，即通过差分以后得到的时 间序列可能是完全自回归过程或者完全移动平均过程。如果差分后是AR （p），我们称 Yt 是（p，d）阶综合自回归过程，记为ARI（p，d，0） ，如果差分后是MA（q）。则称 Yt 是（d，q）综合移动平均过程，记为 IMA（0，d，q）。
k q k q k q, k 0 k 0 k q
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二、平稳时间序列分析模型
（4）移动平均过程的识别 利用样本相关函数图像就可以确定MA（q）过程的阶数。因为由移动平均 过程产生的自相关函数在k>q的时候应该均为0。由于根据实际时间序列数 据计算得出的样本自相关函数在k>q的时候不可能完全等于0，这个时候我 们就可以运用 rk 的渐近分布。
t
Zt : WN (0, 2 )
2.MA模型定义 若 Yt 序列是白噪声序列 Zt 的加权平均，我们就可以建立时间序列的 MA模型为：
Yt Zt 1Zt 1 ... q Zt q , Zt : WN (0, 2 )
上式被称为q阶移动平均模型，即MA（q）。q被称为移动平均的阶数，
样本自相关函数满足 (k ) 1 (k 1) ... p (k p) (6) AR模型的识别 由于AR模型的自相关函数的性质与MA模型不同，因此在判断AR模型的 阶数的时候不能利用时间序列的ACF函数。要判断AR模型阶数，需要用 到的是偏自相关函数（Partial ACF）,计算PACF利用的是Yule-Walker方程 组.
(k ) 1 (k 1), k 2
样本自相关函数为
(1) (1 11 )(1 1 ) /(1 12 211 ) (k ) 1 (k 1), k 2
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二、平稳时间序列分析模型
(四)积分自回归－移动平均模型（Integrated autoregressive－moving average model，即ARIMA模型） 有些非平稳的随机过程通过差分可以得到平稳的随机过程，如具有趋势性 随机过程是非平稳过程，但是通过差分以后就可以消除趋势性的影响，从 而得到平稳的随机过程。对于差分后的过程使用ARMA过程，就可以建立 ARIMA过程。
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EX t ,
一、时间序列数据的特性
(四) 平稳性 1. 强平稳性：随机过程X＝ X t , t R 被称为是强平稳的，如果对于所有 的 (t1, t2 ,..., tn ) 和所有的 ，有：
( X t1 , X t2 ,..., X tn ) ( X t1 , X t2 ,..., X tn )
S和微观部分 t
Nt 。即：
X t Tt St Nt
t Nt
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一、时间序列数据的特性
(二) 趋势性
趋势性是指时间序列 X t 所具有的随时间的变化而存在的总体向上或 是向下的趋势。比如说，在季节性部分不存在的前提下，我们可以假设时 间序列存在一个简单的线性趋势，即
nk _ _
rk Ck / C0
上式中，X 为样本均值，即 X t 1 X t / n 。
n
_
_
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一、时间序列数据的特性
5. 样本自相关函数(sample autocorrelation function, ACF)的性质
（1）首先，如果总体随机过程中 Yt , t 1, 2,..., n 是独立同分布的，随着n 趋于无穷大，样本自相关函数渐进趋于服从正态分布，即
rk : N (0,1/ n)
根据上述性质，可以检验样本自相关函数是否显著为0。 （2）我们要注意，平稳性的时间序列的样本自相关函数会随着k的增大而 迅速下降到0，而非平稳时间序列的样本自相关函数随着k的增大不会有明 显趋于0的现象。因此我们通过自相关函数图可以对时间序列的平稳性进 行简单的判断。 （3）季节性因素也会影响自相关函数的函数值。比如说，如果月度时间 序列 X t 具有年度的季节周期性，那么我们应该可以观测到 X t 与 X t 12 有较 高的相关性。