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华 北 水 利 水 电 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
2014 年 6 月
H =
f 2 + x x
2
g λ ， [( x ) ] J = ( g ) ． x
T
2． 2
约束条件 等式约束条件为 P gi － P Li － P （ V， θ） = 0 Q gi － Q Li － Q（ V， θ） = 0 （ 12 ） （ 13 ）
流出节点功率 P / MV Q / （ MV·A） 129． 67 64． 66 55． 59 48． 92 37． 28 － 11． 21 － 49． 16 22． 85 14． 84 42． 06 6． 09 7． 65 17． 12 － 8． 50 31． 34 6． 49 10． 20 － 2． 53 1． 48 4． 88 总功率 表2 － 6． 36 6． 36 0． 47 － 0． 48 1． 59 4． 57 11． 58 － 3． 99 1． 17 15． 14 4． 56 2． 66 7． 73 － 8． 05 3． 01 3． 20 2． 95 － 2． 64 0． 91 2． 42
牛顿法具有较好的收敛性， 在解最优潮流时必 ［1 ］ 其存储量及计算 须用到 Hessian 矩阵 的逆矩阵， 量 大， 使 问 题 变 得 复 杂， 因而如何简化成为首 要问题． 1984 年， 台湾学者 Sun D I 等 提出应用二次 罚函数的牛顿法处理该问题． 该算法不用区分状态 变量和控制变量， 充分利用电力网络的物理特征， 运 用 Hessian 矩阵的导纳稀疏结构， 把等式约束条件
；i 为不等式约束的个数． 把
Hale Waihona Puke f' （ x） = f（ x） + 方程为
∑ hi （ xi ）
作为扩展目标函数， 考虑不等式约束后的牛顿修正 － f' Δx x 0 = Δλ － g （ x0 ） g ) λ] ． [( x
T
[J
H'
JT 0
2
][ ]
0
( )
T － J0 λ0 0
T …， λ = （ λ1 ， λ2 ， λm ） ．
（3）
Lagrange 函数可 只考虑等式约束 g（ x） = 0 时， （4）
根据库恩 － 塔克条件 进行 Taylor 展开：
* * !L （ x ， λ ） = 0
［7 ］
* * ， 在极小值点 （ x ， λ ）
er 条件
（ 简称 KKT 条件 ） 进行牛顿法迭代求解， 不等式约束用二次罚函数来处理． 文中采用二次罚
将等式 约 束 g（ x） = 0 在 变 量 初 始 值 x0 处 进 行 Taylor 展开： g （ x ） = g （ x 0 ） + g Δ x + … = 0 ． x 0 忽略二次项与高次项得： J0 Δx = － g （ x0 ） 由式（ 6 ） 和式（ 7 ） 得： （7）
T － J0 λ0 0
式中 H' =
f' 2 + x x
不等式约束只影响 Hessian 矩阵系数和 可见， 等式的右侧．
2
2． 1
最优潮流的数学模型
最优潮流
［11 ］
最优潮流（ OPF） 问题 是一个典型的带约束 条件的非线性优化问题， 进行最优潮流计算时， 一般 以系统发出有功、 无功成本最小为目标函数， 其数学 模型为 min∑ （ f pi （ P gi ） + f qi （ Q gi ） ） f qi （ Q gi ） 为机组 i 的燃料耗费． 式中 f pi （ P gi ） ， （ 11 ）
max V min ≤ Vi ≤ Vi ， i max P min gi ≤ P gi ≤ P gi ， max Q min gi ≤ Q gi ≤ Q gi ，
[J
函数
［9 ］
H
JT
][ ] 0
Δx
0
－ f x 0 = Δλ － g （ x0 ）
( )
（8）
式（ 8 ） 则为求等式约束非线性规划问题的牛顿修正 ［8 ］ 方程式 ． 而不等式约束条件 h（ x） ≥ 0 ， 用二次罚 扩展后的 Lagrange 函数表示为 来处理，
［4 ］
函数的牛顿法来求解最优潮流， 并经试验验证了该 方法具有很强的实用性及经济性 ．
1
1． 1
牛顿法的数学模型
非线性规划的数学模型
［5 ］
典型的非线性规划问题 就是求解目标函数 的极大值或极小值问题， 文中所求的是极小值， 数学 模型可表示为： 极小化 等式约束
收稿日期：2014 － 03 － 23
［3 ］ 和不等式约束条件 用 Lagrange 乘子引入到目标 KuhnTuck直接对拉格朗日函数的 Karush函数中， ［2 ］
h（ x） ≥ 0 不等式约束 1 ． 2 牛顿法的描述 表示为 L = f（ x ） + λ T ·g （ x ） ［6 ］ 其中 λ 是 Lagrange 乘子 ，
Vol. 35 No. 3 Jun． 2014
DOI：10． 3969 / j． issn． 1002 － 5634． 2014． 03． 017
基于牛顿法的电力系统最优潮流计算
朱雪凌，张翠影，赵臣鹏，刘林飞
（ 华北水利水电大学， 河南 郑州 450045 ） 摘 要：为研究电力系统最优潮流问题的可行算法， 对牛顿法进行探讨并基于该算法进行最优潮流计算 ． 由于最优 潮流问题属于典型有约束条件的非线性规划问题， 故引入二次罚函数处理约束条件， 将牛顿法和二次罚函 数结合并用 MATLAB 仿真平台进行算法编程， 求出 IEEE14 节点标准系统的最优潮流计算结果， 同时得出 收敛时间和系统发电成本 ． 实验结果表明：该方法的收敛性较好， 计算速度较快；运用牛顿算法求解最优潮 流， 可使发电成本最小或功率损耗最小， 从而达到优化资源配置， 降低发电及输电成本的目的， 具有很好的 经济效益和社会效益 ． 关键词：牛顿法；电力系统；最优潮流；二次罚函数 中图分类号：TM744 文献标识码：A 文章编号：1002 － 5634 （ 2014 ） 03 － 0071 － 04
（5）
minf（ x） g（ x） = 0
（1） （2）
将二次项及高次项忽略， 式（ 5 ） 变为 f － JT T H0 Δ x + J0 （6） Δλ = － 0 λ0 x 0 式中 H 和 J 分别为 Hessian 和 Jacobian 矩阵．
( )
12A470006 ） ． 基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点项目（ 12A470005 ， 作者简介：朱雪凌（ 1966 —） ， 教授， 硕士， 主要从事电力系统分析及继电保护方面的研究 ． 女， 河南周口人，
T L（ x， λ） = f（ x） + λ g（ x） +
S ij 分别为输送端线路视在功率和送达端线 式中：S ij ， 路视在功率；S ij 为线路视在功率的上限；V i 为母线 电压
［13 ］ max
f
t
∑ hi （ xi ）
（9）
其中
h i （ x i ） = 0 ， x imin ＜ x i ＜ x imax ；
4
实例计算
以 IEEE14
［14 ］
节点 标 准 系 统 为 例， 运 用 MATLAB 编程进行最优潮流计算， 所得支路节点和母线 最优潮流结果见表 1 和表 2． 该算法求得的最优潮 流收敛 时 间 在 5． 52 s 以 内， 系统的发电成本为 8 081． 53 S | / h． 由 此 可 以 看 出， 该算法收敛速度较 快， 求得的发电成本较低．
L + L Δx + ( x ( x ) x ) L Δλ + … = λ ( x ) f + g λ + ( ( x ) x) f + [ ( g ) λ ] } Δx + { x x x g ) Δλ + … = 0 ( x
0 0 T 0 0 0 2 T 2 0 T 0
第 35 卷第 3 期
朱雪凌， 等：
基于牛顿法的电力系统最优潮流计算
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表1 流出 节点 1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 6 6 6 7 7 9 9 10 12 13 流入 节点 2 5 3 4 5 4 5 7 9 6 11 12 13 8 9 10 14 11 13 14
支路节点最优潮流计算结果 流入节点功率 P / MV Q / （ MV·A） － 126． 77 － 62． 61 － 54． 25 － 47． 63 － 36． 54 11． 31 49． 50 － 22． 85 － 14． 84 － 42． 06 － 6． 04 － 7． 58 － 16． 91 8． 50 － 31． 34 － 6． 47 － 10． 06 2． 54 － 1． 47 － 4． 88 9． 40 － 3． 21 － 0． 56 0． 79 － 3． 00 － 5． 63 － 10． 53 5． 04 － 0． 04 － 10． 90 － 4． 46 － 2． 51 － 7． 32 8． 27 － 2． 02 － 3． 16 － 2． 67 2． 66 － 0． 91 － 2． 33 损 P / MV 2． 902 2． 051 1． 344 1． 285 0． 737 0． 099 0． 331 0． 000 0． 000 0． 000 0． 049 0． 072 0． 208 0． 000 0． 000 0． 015 0． 131 0． 010 0． 006 0． 047 9． 287 母线最优潮流计算结果 发电机功率 有功功率 无功功率 P / MV 194． 33 36． 72 28． 74 — — 0． 00 — 8． 50 — — — — — — 268． 29 Q / （ MV·A） 0． 00 23． 69 24． 13 — — 11． 55 — 8． 27 — — — — — — 67． 63 负荷功率 有功功率 无功功率 P / MV — 21． 70 94． 20 47． 80 7． 60 11． 20 — — 29． 50 9． 00 3． 50 6． 10 13． 50 14． 90 259． 00 Q / （ MV·A） — 12． 70 19． 00 － 3． 90 1． 60 7． 50 — — 16． 60 5． 80 1． 80 1． 60 5． 80 5． 00 73． 50 耗 Q / （ MV·A） 8． 86 8． 46 5． 66 3． 90 2． 25 0． 25 1． 04 1． 05 1． 12 4． 23 0． 10 0． 15 0． 41 0． 22 1． 00 0． 04 0． 28 0． 02 0． 01 0． 10 39． 16