1.4.2晶粒大小、点阵畸变、宏观应力宏观内应力测定：1、概念：除内应力是指产生应力各因素不复存在时，（为外力去除相变停止等），由于不均匀的塑性形变或不均匀的相变新改，物体内部依然存在并自身保持平衡的应力。

内应力按其存在分为三类：○1 在宏观范围晶区存在并保持平衡的应力，称宏观应力或第一类应力。

○2 晶粒间存在并保持平衡的应力，称微观应力或第Ⅱ类内应力。

○3 晶粒内的原子间存在并保持平衡的应力称超微观应力或第三类应力。

研究宏观内应力对材料的疲劳强度、静强度、抗蚀性尺寸稳定性等具有重大意义。

测定方法有电阻应变片法、机械拉伸法等，与机电测法相比，X 光法特点：○1 无损测定，○2测的仅弹性应变（不含塑性应变）、机电为两者之各，○3解研究表层nm 区域局部应变和应力梯度，○4精度21mm kg 级。

2、原理：因各类应力造成晶体点阵畸变不同，相应的衍射图含有不同的变化。

测量这些变化即能区分内应力的类型及数值。

若存在宏观内应力，则宏观尺寸必然产生改变。

在弹性范围内，宏观弹性应变的数值可用某一晶面间距的变化来表征，即可用相应衍射峰位的变化来表征。

若存在微观应力，晶粒会产生很大的塑性变型，引起晶粒的晶格歪扭、弯曲使不同晶粒内的同一组晶面间距发生不规侧的变化，从而造成衍射线宽化。

精测峰宽的问题，不论哪一类，都是先测应变、其应变为：θθε∆⋅-=-=∆=ctg d d d d d 00 d 0,d 为晶面在弹性形变前后的晶面间距，θθγδ∆⋅⋅=ctg EzE ——弹性模量，γ——材料泊松比以上公式为单轴应力的基本公式（各向同性均为棒状材料） 宏观内应力测定：3、实用方法：原理的实用方法有实用价值的测定是，测定沿试样二维表面某方向的宏观内应力，如金属材料（板材或陶瓷、微晶玻璃等）表面沿某一给定方向的应力。

如果测定右图中板材上O 点沿ϕ方向所受的应力φσ，则考虑与φσ处在同一平面内且与Z 轴交角为ψ的衍射晶面结线方向的应力φψσ，根据弹性力学理论：()2121Sin E E φψφννεσψσσ+=-+ （1） 且()0000d d d ctg d d ψφψψεθθθ-∆===-- （2）式中 0θ——无应力试样衍射峰位的布拉格角， 4θ——有应力试样衍射峰位的布拉格角()()200121ctg Sin E Eψφννθθθσψσσ+--=-+于是 （3） (1)和（3）表明在σψ方向上的应变是由特定方向上的应力σψ与主应力之和（σ1+σ2）两部分构成，而且当改变衍射晶面法线与试样表面法线之间的夹角ψ时，主应力和（σ1+σ2）对ψ方向的应变贡献恒定不变。

应变量只与sin 2ψ成线性关系。

故公式改写为02(1)Ectg M ϕσθν=-⋅+ （M 为斜率）实际测时，只要测出各个不同ψ角下的2θψ，并以2θψ为纵坐标sin 2ψ为横坐标作直线，求其斜率为M ，则宏观应力若2θ为度计算则：22M Sin θψ∂=∂ ○1可用专用应力测定仪、或在普通衍射仪上装一个试样架应力即能使试样绕衍射仪轴独立转到所需ψ0，且能改变探测器位置以便聚焦。

一般选一组高角度晶面该面在多晶试样中有各种取向，故在不同ψ下都能测到（θ2＞140°）。

取40°、15°、30°、45°的情况下测2σψ，故在相应角度下ψ0必须能改变到相应位置，在ψ0下，做有明显的衍射峰，即固定ψ0测定后，当在相应ψ0下看到明显衍射峰时精测峰位求σψ。

○2普通衍射仪不改变任何装置的情况下也可测这时ψ的各咱取值是ψ=00、 ψ＞03、ψ＜起始角/2~3。

（扫描hkl 的起始角）由于普通衍射仪计数管位置不能在测定中改变位置，ψ角度越大强度损失越厉害，测不到强度，无法精测d 值，故ψ选03、07……且随ψ增大，计数时间增大10°以后无法转动，不能测。

6、晶粒尺寸与点阵畸变的测定多晶物质是由很多个微小单晶组成的,单晶又由很多晶胞组成,这些微小的单晶又称晶粒或微晶。

这些晶粒的大小(或称微晶尺寸)对材料的性能有着很大的影响。

对于由无畸变.足够大的晶粒组成的多晶试样，衍射理论预言，其粉末花样的谱线应特别锋锐。

但在实际实验中，由于许多仪器因素和物理因素的综合影响，使得衍射线形增宽了。

纯的线形形状和宽度是由试样的平均晶粒尺寸或尺寸分布，以及晶体点阵中的主要缺陷所决定的。

因此，对纯衍射线形做适当的分析，原则上可以得到平均晶粒尺寸. 晶粒尺寸的分布，以及点阵性质和尺度等方面的信息。

晶粒尺寸和晶格畸变率是纳米粒子的重要物理参数。

X射线衍射线宽法是同时测定晶粒大小和晶格畸变的最好方法。

对纳米粉体而言，谱线宽化是晶粒细化和晶格畸变共同影响的结果，因此同时测定是一种理想的近似方法。

可以看到，目前在讨论纳米合成材料的晶格畸变特征的一些场合，存在一些简单的计算方法，在这类的简单计算方法中，共同地以单一的衍射数据为基准，或者是先由谢乐公式计算晶粒度，然后将得到的晶粒度代入同时涉及晶粒度和畸变的公式，以求得晶格畸变值，或者使用单纯由微观应力引起的谱线增宽的计算公式来计算晶格畸变值。

近年来，随着纳米材料及薄膜材料研究的深入开展，人们了解到晶粒大小和点阵畸变程度的大小，对材料的性能有重要影响，可以通过控制加工过程中的晶粒大小和点阵畸变程度的大小，来改善材料的性能，因此对材料的加工过程中的晶粒度和点阵畸变的测量，有十分重要的意义。

这也对晶粒大小和晶格畸变的测定的要求越来越高，而各种测试方法和计算方法都各有优劣。

本文就是讨论用积分宽度法即Hall法和计算机程序来同时计算晶粒大小和晶格畸变率，比较了二者的计算结果的准确性，同时讨论了研磨试样时间长短对晶粒大小和晶格畸变的影响。

一、原理：利用X 射线测定晶粒尺寸与点阵畸变是利用X 射线衍射线型的宽化来进行的（一）线形宽化种类。

1．仪器线形与仪器宽度由于X 射线源有一定的大小宽度，接收狭缝，试样吸收、平板试样、垂直发散、调0，使得符合布拉格条件的衍射不只有一个点、一条线对应一个2θ0而是使偏离2θ范围内仍有一定的符合布拉格反射的，但衍射强度逐渐降低的衍射存在，这就形成了一定宽度的衍射峰，这个峰即使无晶粒细化，无点阵畸变仍然存在，称之为仪器线形g(x)，对应仪器宽度b 。

2、物理线形f(x)与物理宽化βf物理宽化指晶粒细化或点阵畸变引起的宽化。

3、试样线形（实验线形h(x)）的宽度B 包含仪器宽度b 和物理宽度βf ，任何影响线形的因素迭加在一起，根据迭加定律，有卷积关系。

试样线形)(x h 与仪器线形)(x g 和物理线)(x f 之间有卷积关系：⎰∝∝-=dy y x f y g x h )()()(以上式为基础，为了把f(x)解出来，可用各种近似函数法、傅氏分析法、方差法等不同方法．其中的近似函数法是把h(f)、f(x)和g(x)用某种具体的带有待定常数的函数代替,通过h(x)和g(x)与已经获得实验曲线拟合来确定其待定常数具体数值大小．代人方程，来近似地解出f(x)大小． 各种近似函数法简介1．高斯近似函数积分宽度法令h(x)、g(x)均为高斯函数，则f(x)也一定是高斯函数，令 它们各自的积分宽度分别为B 、b 和β，则有 B 2=b 2+β2 (4．38)如果通过实验测量对形变样品和标准样品分别测到衍射线形 h(x)、g(x)，经K α1和K α2双线分离后．并计算出它们的积分 宽度B 、b 以及半高宽2w(B)和2w(b)，则由式(4．38)可 求出物理宽度β．当仅由畸变或应变所产生的以2θ为标度的积分宽度β（单位为弧度）求得以后，则最大点阵畸变e 可由下式求出max (/)(2)/4(2)cot 4hkl e d d tg eβθθηβθθ=∆===表观应变2．柯西近似函数积分宽度法令h(x)、g(x)均为柯西函数，则f(x)也一定是柯西函数，令它们各自的积分宽度分别为B 、b 和β，则有 B=b+β如果通过实验测量对形变样品和标准样品分别测到衍射线形 h(x)、g(x) 并计算出它们的积分宽度B 、b 以及半高宽2w(B)和2w(b)，则由上式可求出物理宽度β．当仅由晶粒碎化所产生的以2θ为标度的积分宽度β（单位为弧度）求得以后，则亚晶块大小Dc 为/cos()()c c D K A λβθ=3．V oigt 近似函数积分宽度法设某 一 柯西函数Ic(x)及一高斯函数Ig(x )，则两者卷积后的 函数Iv(x)就是一个V oigt 函数．()()()()()v c g c g I x I x I x I y I x y dy ∞-∞=∙=-⎰当它们的积分宽度分别为βc ，βg ，βv 时，则可有如下满意近似公式：2/1(/)c v g v ββββ=-此法适用于0.63662<2W （βv ）/βv <0.93949的大部分情况当晶粒碎化宽化与应变宽化同时存在时，上述l 和2方法均不适用，可用V oigt 近似函数法．理论考虑和实验结果两方面都表 明，应变宽化通常可以近似为高斯函数线形描述，而晶粒碎化效应 更接近柯西线形函数． 高斯函数：22x e α- 柯西函数：2211x α+若都是高斯型的，则B 2=b 2+βf 2若都是柯西型的，则B=b+β f有柯西，亦有高斯型，则21()ffBbββ=-（二）、线的宽度表示方法：三种表示方法：半宽度法、积分宽度法、方差法。

1、半宽度：线性在极大强度一半处（净强度）的总宽度 22B θθ'''=-半高2、积分宽度法：背景以上线形的积分强度除以峰值高度，()()122P maxI B I d I I θθ==⎰积分积分 上式积分宽度在数学可以等于高度等于峰值面积与实际线形相等一个矩形的宽度。

3、方差法测宽度：线形均方标准偏差，线形宽度方差定义为：质心和方差都有相加性的特点：所以实际测量质心和方差的计算采用下式：∑∑∆⋅∆⋅⋅=)2()2()2()2(2)2(θθθθθθI I())2()2()2()2()2(22θθθθθθ∆⋅∆⋅⋅-=∑∑I I W 实验测定：○1确定扫测衍射峰的范围，如：49.5~50.5。

○2确定增量δθ即将扫测范围10分几等分测， ○3由起始角起测量(2)I I B θ=-，在几个位置测，并将测量结果列成表： 编号 2θ)2(B I I -=θ)2(2θθI ⋅()2)2(2θθ- ())2()2(22θθθI ⋅-1 49.5 249.525n 50.52(2)(2)2(2)(2)I I θθθθθθ⋅⋅∆〈〉=⋅∆∑∑ ()222(2)(2)(2)(2)I W I θθθθθθ-〈〉⋅⋅∆=⋅∆∑∑()()22222(2)(2)22(2)(2)I d W I d θθθθθθθθθ∞-∞∞-∞-〈〉=〈-〈〉〉=⎰⎰θ″″二、测定方法和计算公式在无机非金属材料的科学研究和生产部门中，为了提高原料的及应活性，改善材料的显微结构状态，广泛采用超细粉；对某些材料，希望合成物具有微细晶粒的显微结构以提高其性能。