圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。

今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。

引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。

（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。

（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。

整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。

(2) 圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过交点F ，ααααα2222222222222cos 1cos 12cos 12cos sin 2e H e a b e a b b a ab -=-=-=-=变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线与A ，B 两点，求AB . 解：ρ=,1(,)6A πρ，2(,)6B πρπ+124AB ρρ=+=利用弦长公式求常量问题：例：过椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的左焦点F ，作倾斜角为︒60的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，求离心率。

解：由题：,21221e epe ep +=-解得：32=e 。

解法二：变式：求过椭圆θρcos 32-=的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。

解：338=⋅FQ FP 解法一：直角坐标系下弦长公式346)347(2421++=+x x 3463326021++=x x解法二：极坐标系下弦长公式方的部分交于点A()32,3，lAK⊥，垂足为K()32,1-，所以C.34AKF选△∴=S方法二：例3 中心在原点的椭圆焦点F（3,0），右准线l的方程为12=x.(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同的点,,,321PPP使得133221FPPFPPFPP∠=∠=∠，证明：321111FPFPFP++为定值，并求出此定值。

解：法一：法二：从而)cos 9(21ii FP α-= ()3,2,1=i ，解得⎪⎭⎫⎝⎛+=i iFP αcos 211921 因此)]34cos 32cos (cos 213[92111⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++παπαα 0=故32111321=++FP FP FP 为定值 例1 （06湖南文第21题）已知椭圆134:221=+y x C ，抛物线2C ()px m y 22=-，)0(>p ，且21,C C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点。

（1）当x AB ⊥轴时，求m p ,的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （2）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程。

因为抛物线2C 的焦点F ),32(m 在直线)1(tan -⋅=x y α上，∴αtan 31-=m ，从而36±=m 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ；当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2（07全国文科22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B,D 两点，过2F 的直线交椭圆于A,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P.（1）设P 点的坐标为),(00y x ，证明：1232020<+yx .（2）求四边形ABCD 的面积的最小值。

解：（1）证明：在12322=+y x 中， 3=a ，2=b ，c=1.∵︒=∠9021PF F ,O 是21F F 的中点，∴OP =12121==c F F ，得12020=+y x 。

∴点P 在圆122=+y x 上。

显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部。

故1232020<+y x 。

（2）如图，设直线BD 的倾斜角为α，由AC ⊥BD 、可知，直线AC 的倾斜角为2πα+。

∴]4,2596[∈S 。

故四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3 （08全国理21）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为21,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线BF 与FA 同向.分别交21,l l 于AB 两点，已知OA ,AB ,OB 成等差数列，且（1）求双曲线的离心率；（2）设AB 被双曲线所得的线段的长为4，求双曲线的方程。

解：（1）设双曲线的方程为12222=-by a x ()0,0>>b a .51cos2=θ。

通径H=b又设直线AB与双曲线的交点为M，N.于是有4cos122=-=θeHMN。

即4512512=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=bMN解得：b=2,从而6=a∴所求的双曲线方程为193622=-yx。

练习：1.已知斜率为1的直线l过椭圆1422=+xy的上焦点F交椭圆于A,B两点，则AB= .2.过双曲线1322=-yx的左焦点F作为倾斜角6π的直线l交双曲线A，B两点，则AB= .3.已知椭圆02222=-+yx，过左焦点F作直线l交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积。

解：1222=+yx，2=a，b=c=1,左焦点F（-1,0），离心率22=e，通径2=H。

当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，2==HAB，高1==cOF，22=S。

当直线l的斜率存在时，设其倾斜角为α,则其方程为)1(tan+⋅=xyα，即0tan tan =+-⋅ααy x ，原点到直线AB 的距离为2tan tan d αα=αθθ22222sin 122cos 2212cos 1+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=e HAB 所以△AOB 的面积αα2sin 1sin 221+=⨯⨯=d AB S ∵πα<<0，∴0sin >α，从而ααsin 2sin 12>+. 所以22sin sin 12≤+=ααS ，当且仅当1sin =α时等号成立。

故△AOB 的最大面积为22.4.已知抛物线px y 42=（0>p ），弦AB 过焦点F ，设m AB =，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值。

5.（05全国卷文22）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线,MF 和FN 共线，PF 0=⋅MF ，求四边形PQMN 的面积的最值。

解：在椭圆1222=+y x 中，2=a ，b=c=1,MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0,1），且MN ⊥PQ 。

如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角为2πα+。

通径2=H ，离心率22=e 。

于是有α2cos 222-=MN ，α2sin 222-=PQ ， 四边形PQMN 的面积α2sin 816PQ MN 212+=⋅=S ∵),0[πα∈，∴]1,0[2sin 2∈α，∴]2,916[∈S 。

6. （07重庆文22题）如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A,B 。

（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：α2cos FP FP -为定值，并求此定值。

解：（1）4=p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为（2,0），准线l 方程为2-=x 。

8. 已知双曲线的左右焦点21,F F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线。

（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A ，B ；C ，D 。

求四边形ABCD 的面积的最小值。

∴所求的双曲线的方程为1322=-y x。