电解槽磁场计算方法的比较1 前言随着现代大型铝电解槽工作电流的增大，其载流母线和熔体电流产生的磁场对其生产和稳定运行的影响愈显突出。

由于磁场与熔体电流相互作用所产生的电磁力使槽内熔体循环加速，导致铝液面产生隆起、偏斜和波动，甚至可能导致铝电解槽不能正常生产。

因此，在设计高效能的大型铝电解槽时，必须考虑削弱和控制槽内磁场和电流相互作用所产生的电磁力，使母线配置与槽内磁场各分量呈一定规律分布，而且将其绝对值降到限定的数值范围。

这样在设计大型铝电解槽时，才能准确计算槽内磁场。

对于电解槽的磁场计算而言，其分布为不规则形状，再加上其上部结构、槽壳、摇篮架以及钢构厂房等铁磁物质的存在，使得我们很难精确计算，而不得不进行大量的简化，有些因素(特别是铁磁物质)的影响难以全面考虑，因而存在一定的计算误差。

对于铝电解槽槽内磁场而言，产生这部分磁场的主要原因有：1)槽周载流母线在槽内产生的磁场；2)槽内导体产生的磁场；3)铁磁物质的影响；4)相邻及左右列槽在本槽内产生的磁场(通常情况下，由于钢构厂房远离计算场点而被忽略)。

我院在20世纪80年代初期即与华中工学院合作，对铝电解槽磁场分布进行研究，采用毕奥一沙伐定律，用等效线电流数学模型编制铝电解槽磁场计算软件，并在工程中进行了广泛的应用。

20世纪90年代末期，我院又与华中科技大学再度进行合作，采用有限元方法计算铝电解槽磁场分布。

本文就上述两种计算方法进行简要描述，并对其计算结果进行了比较。

2 毕奥-沙伐定律计算模型计算电解槽磁场的模型有等效线电流数学模型、等效圆柱母线数学模型和等效矩形母线数学模型。

作者曾对上述几种模型在计算电解槽磁场分布时的误差作过专门分析[1,2]，为了便于计算以及实际应用，我们采用了等效线电流数学模型，其原理如图1所示。

图1: 等效线电流数学模型把矩形母线电流用集中在母线的S 轴线上的等效线电流来代替，设AB 间有电流通过，如图1所示，电流按线性变化，沿S 轴流动，线电流βα+=S I ，其中α、β为任意常数，A 、B 两点间的坐标分别为S 1、S 2，场点P 的磁感应强度矢量为⎰⨯⋅=212004S S r r s d I B ρρρρπμ（1） 其数值为ds rS ds r I B S S S S ⎰⎰+==21202120sin )(4sin 4θβαπμθπμ 若令ϕcos /a r =，ϕatg S =，则：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+++-+-=)()11(4221122222212220αααβαπμS S S S a S a S a B （2）设通过A 、B 两端点的电流分别为I 1和I 2，即:11|I I S S ==，11I S =+βα； 22|I I S S ==，22I S =+βα求解得：2121S S I I --=α，121221S S S I S I --=β将α、β值代入式(2)，即可由S 1、S 2、I 1、I 2、α确定此线电流在场点P产生的磁感应强度B 的大小，再利用0r s d ρρ⨯的方向余弦，可求出P 点磁感应强度的三个分量Bx 、By 、Bz 。

1)槽周母线电流产生的磁场将槽周母线电流用集中在母线的中心轴线上的等效线电流束代替，对每一根母线产生的磁场均按式(2)进行计算，然后再进行叠加。

2)槽内电流产生的磁场为了计算槽内熔体电流产生的磁场，需要把铝电解槽熔体分割为若干块矩形载流导体，其电流用集中在轴线上的线电流来代替，并用式(2)进行计算。

由于某些计算场点在等效圆柱导体内，应用(2)式计算时，场点与轴线越接近磁感应强度就越大，而实际上磁场随场点接近轴线应越来越小，因而由此引起的误差较大。

为了提高磁场计算精度，采用等效线电流数学模型时，应注意熔体电流分割方式，使计算场点落在分割出的矩形熔体角点或边界上。

3)铁磁物质的影响我们曾经在大电流试验室中，通过测量有、无模拟电解槽情况下磁场的数值来确定在钢结构影响下的磁场的衰减因子与变形系数。

由于很难真实的模拟现场情况以确定衰减因子与变形系数，故试验结果没有很大的实用价值，因而在实际计算过程中未能考虑铁磁物质的影响。

4)相邻槽及左、右列槽的影响与计算本槽磁场分布类似，通过一定方式的变换，来计算相邻及左右列槽电流对计算场点的影响。

3 有限元法计算有限元法是一种偏微分计算方法，在处理边界条件复杂、材质种类较多及含有非线性条件的问题方面，具有积分方法无法比拟的优势，非常适用于铝电解槽的电磁场计算[3]。

由于磁场问题可以用泊松方程(有电流区域)和拉普拉斯方程(无电流区域)来描述。

如对于一个任意三维磁场，其磁位U m (可以是标量磁位位，也可以是矢量磁位A )通常应满足如下的泊松方程和边值条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=-=∇0|)(|),,(2012S S m m nUmp f U z y x f U（3）在式中第二项为第一类边界条件，第三项为第二类边界条件，当扒f(x ,y, z)为0时，方程变为拉普拉斯方程。

产生铝电解槽内磁场的主要因素，曾在前言中进行过描述，可以采用变量分离的办法，即每次只考虑一个因素的影响，而将其他因素暂不考虑，将各因素在铝液内形成的磁场逐一计算，并叠加其结果，便可得到磁场的实际分布。

计算方式分别如下。

1)槽周母线电流产生的磁场由于我们关心的是铝液内的磁场分布，对于这一位置来说，旋度源(母线电流)在区域之外。

故可以用标量磁位m ϕ作为变量来分析，其分布满足拉普拉斯方程：2=∇m ϕ（4）2)槽内电流产生的磁场由于铝液本身也是导体，从理论上说，全部槽电流应穿过铝液层，即区域内有旋度源存在。

因而，不能用标量磁位来分析，而必须改用矢量磁位A ρ，其分布满足泊松方程：JA ρρμ-=∇2（5）这里μ为磁导率，J 为电流体密度。

矢量磁位A ρ在x ，y ，z 方向上的分量分别满足：x x J A μ-=∇2，y y J A μ-=∇2，z z J A μ-=∇2 （6）式中Jx ，Jy ，Jz ，分别是载体电流密度在x ，y ，z 方向上的分量。

3)铁磁物质的影响铁磁物质对铝电解槽内磁场的影响，如不考虑相邻及左右列槽，则电解槽内的磁场强度 H 可表示为：mc H H H ρρρ+=（7）式中H c 为槽内外各传导电流产生的磁场，而H m 则是被磁化的铁磁物质产生的磁场。

在进行有限元法计算时，不需要单独计算铁磁物质产生的磁场，而只要将其设为边界条件即可。

如果在采用标量法计算外部母线电流产生的磁场时，对于铁磁物质与空气的交界面上，标量磁位为定值：m m ϕϕ=（8）这种情形属于第一类边界条件。

而如果在计算槽内熔体电流磁场时，则在铁磁物质表面上的矢量磁位满足：0=∂∂nA ρ（9）这种情形属于第二类边界条件。

在设定好边界条件之后，用有限元法计算传导电流产生的磁场时，可以自动考虑铁磁物质的作用。

4)相邻及左右列槽的影响与计算槽周母线产生的磁场类似，也是用标量磁位作为变量进行分析。

将上述各项计算结果进行矢量叠加，便可得出总的磁场分布。

4 计算结果的比较以我院设计的230KA 电解槽为例，第一种方法是将流经电解槽的所有电流均用线电流进行等效，并用毕奥一沙伐定律求解磁场分布；第二种方法则采用有限元方法，将电解槽的结构适当简化，对泊松方程、或拉普拉斯方程求解后，进行叠加，求解槽内磁场分布。

我们将上述二项计算结果以及计算点的测量结果同时列于表1中并绘制了图2~4。

表1 计算值与实测值的 比较(测量点位于槽的进电端，即A 侧)序号坐标测量值/10-4T毕一沙定律计算值有限元法计算值X Y Z BxBy Bz Bx1 By1 Bz1 Bx2 By2 Bz2 1 -5.6 -1.6 2.8 -50.30-6.523 -26.446 -56.11 -20.754 -10.121 -66.567 -5.389 -17.113 2 -4.2 -1.6 2.8 -140.63 -14.498 -16.931 -167.80 -19.749 -5.23-115.711 -5.201 -27.525 3-2.-1.2.-137.4-3.691-6.797 -157.5-17.80-2.326 -135.32-6.48-16.318 6 8 4 2 4 2 5 14 -1.4 -1.62.8-153.877·311 -8.225 -183.13-11.324-3.949 -137.608-1.295-9.6915 0 -1.6 2.8-145.056.78 -1.414 -161.99-4.09 -0.02 -145.308·148 -6.1896 1.4 -1.6 2.8-154.4615.955 5.326 -181.645·735 -2.6 -126.07514.091-0.3317 2.8 -1.6 2.8-143.4424.469 13.841 -162.4213.148 -0.467 -126.7639.557 10.5738 4.2 -1.6 2.8-137.3321.608 20.518 -171.9615.185 2.304 -113.5284.266 29.3039 5.6, -1.62.8-42.23 26.969 24.107 -63.29 16.430 4.446 -72.861 7.621 30.409两种算法的样本方差比较见表2。

1)从表1和图2~4中可以看出，由于现场情况的复杂性，无论采用哪种方式进行计算，其计算值与实测值之间的偏差总是存在的；2)表2列出了计算值与实测值之间的分散程度，采用有限元法计算明显提高了计算结果的精确度，特别是对于垂直磁场的计算更为突出。

图2: 两种计算结果与实测值的比较(Bx分量)图3: 两种计算结果与实测值的比较(By分量)图4: 两种计算结果与实测值的比较(Bz分量)表2 : 两种算法的样本方差比较（样本方差∑=-=Niix xN12) (1）毕一沙定律计算值的样本方差有限元法计算值的样本方差Bx1 By1 Bz1 Bx2 By2 Bz223.71 11.92 12.60 20.39 10.92 7.265 结论由于考虑了铁磁物质的影响，使用有限元法对铝电解槽磁场进行计算要比采用等效线电流计算的结果更为接近实际值。

但由于现场情况的复杂性，无论采用哪种方法进行计算，要使磁场计算结果与实测值完全吻合是非常难的。

因此，这就需要我们在今后的工作中努力钻研，使我们的分析计算更加准确、可靠。