2019年广西北部湾经济区初中学业水平考试数学（考试时间120分钟，满分120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（）A．+2℃B．﹣2℃C．+3℃D．﹣3℃2．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）3．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻B．任意画一个三角形，其内角和是1800C．买一张电影票，座位号是奇数号D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上4．2019年6月6日，南宁市地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均客流量为700000人次，其中数据700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．7×105C．7×106D．0.7×1065．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．600B．650C．750D．8506. 下列运算正确的是（）A．(ab3) 2 = a2b6B．2a +3b=5ab C．5a2﹣3a2=2 D．(a+1)2= a2+17. 如图, 在△ABC中，AC=BC,∠A=400，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．400B．450C．500D．6008．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两个恰好选择同一场馆的概率是 （ ） A ．31 B ．32 C ．91 D ．92 9.若点（﹣1，y 1）、（2, y 2）、（3, y 3）在反比例函数y=xk（k ＜0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 （ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 1＞y 3＞y 2 D ．y 2＞y 3＞y 110.扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为 （ ）A ．(30﹣x) (20﹣x) =43×20× 30 B ． (30﹣2x) (20﹣x) =41×20× 30 C ． 30 x+2×20x) =41×20× 30 D ． (30﹣2x) (20﹣x) =43×20× 3011． 小菁同学在数学实践活动中测量路灯的高度，如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为350 ，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为650 ，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin350≈0.6,cos 350≈0.8,tan 350≈0.7, sin650≈0.9, cos 650≈0.4, tan 650≈2.1）（ ）A ． 3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米12. 如图,AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB=25，BC=2，当CE+DE 的值最小时，则DECE的值为 （ ） A ．109 B ．32 C ．35 D ．552二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．若二次根式4+x 有意义，则x 的取值范围是 ． 14．因式分解：3ax 2﹣3ay 2= ．15．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6. 甲、乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是 .（填“甲”或“乙”）. 16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO=4， S 菱形ABCD =24，则AH= ．17.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.18. 如图，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，∠AOC=600，∠ACD+∠ABD=2100，则线段AB 、AC 、BD 之间的数量关系式为 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分6分）计算： (－1)2+(6)2－(－9)+(－6) ÷2.20. （本题满分6分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+<-312643153x x x x 并利用数轴确定不等式组的解集.21. （本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （2，－1）、 B （1，－2）、C （3，－3）.（1）将△ABC 向上平移4个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1; （2）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 2B 2C 2; （3）请写出A 1、A 2的坐标.22．（本题满分8分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目菜10题同，每题10分.现分别从三个班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）收集数据如下： 1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100.根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a 、b 、c 、d 的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数、众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由； （3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？分数人数 班级 607080901001班 0 1 6 2 1 2班 1 1 3 a 1 3班 11422平均数 中位数 众数 1班 8380802班 83 c d 3班b8080整理数据：分析数据：23. （本题满分8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.（1）求证：∠BAD=∠CBD；⌒（2）若∠AEB=1250，求BD的长.（结果保留π）.24．（本题满分10分）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具.已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同.（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面.设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示.（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠.学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式，现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？25．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点A 、B 不重合），连接CE ，过点B 作BF ⊥CE 于点G ，交AD 于点F. （1）求证：△ABF ≌△BCE;（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC=DG ；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM ⊥DG 于点H ，分别交AD 、BF 于点M 、N ，求NHMN的值.26. （本题满分10分）如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上时，那么我们称抛物线C 1与C 2 “互为关联”的抛物线. 如图1，已知抛物线C 1：y 1=41x 2+x 与C 2：y 2=a x 2+x+c 是“互为关联”的抛物线，点A 、B 分别是抛物线C 1，C 2的顶点，抛物线C 2经过点D （6，－1）. （1）直接写出A 、B 的坐标和抛物线C 2的解析式；（2）抛物线C 2上是否存在点E ，使得△ABE 是直角三角形？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F （－6， 3）在抛物线C 1上，点M 、N 分别是抛物线C 1，C 2上的动点，且点M 、N 横坐标相同，记△AFM 的面积为S 1 (当点M 与点A ，F 重合时，S 1=0)，△ABN 的面积为S 2(当点N 与点A ，B 重合时，S 2=0),令S= S 1+ S 2，观察图象，当y 1≤y 2时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值.参考答案一、选择题1．D ． 2． D ． 3. B ． 4. B ． 5． C. 6．A. 7．C. 8．A. 9．C . 10．D. 11．C. 12. A. 二、填空题13．x ≥﹣4. 14．3a (x+y)(x ﹣y) 15．甲. 6．524. 17. 26. 18. AB 2=AC 2+BD 2. 三、解答题19．解：原式=1+6+9﹣3 ……………………………………………………………………4分=13. ……………………………………………………………………6分20. 解：原不等式组化简为：⎩⎨⎧-≤-<244362x x x ∴⎩⎨⎧≥<23x x ………………………2分 … ……………………………………4分∴不等式组的解集为：2≤x ＜3. ………………………………………………………6分 21．（1）如图（如第一象限蓝色实线所示） …………………………………………………3分 （2）如图（如第三象限蓝色实线所示） …………………………………………………6分（3）点A 1（2，3）；A 2（﹣2，﹣1） …………………………………………………8分22．（1）a = 4 , b=83, c=85, d=90 ………………………………………………………2分 （2）答：从平均数上看三个班都一样；从中位数上看，1班和3班一样是80，2班最高是85；从众数上看，1班和3班都是80，2班是90. ………………………………………………………4分 综上所述，2班成绩比较好. ………………………………………………………5分 （3）570×304=76（张） ………………………………………………………8分 答：学校预计需要准备76张奖状. .23．(1)证明：∵AD 平分∠BAC∴∠C BD =∠C AD ………………………………………………………1分 ∴∠BAD =∠C BD ………………………………………………………3分(2) ∵∠AEB=1250∴∠AEC=550 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACE=900 ………………………………………………………4分 ∴∠CAE=350∴∠DAB =350 ………………………………………………………5分则BD 所对圆心角∠DOB =700 ………………………………………………………6分∴BD 的长为36070×2π×3=67π. ………………………………………………………8分 24．（1） 设每袋国旗图案贴纸为x 元，则有x 150=5200 x ………………………………………………………1分 解得x=15 ………………………………………………………2分 经检验当x=15时，分母不为0，所以x=15是原方程的解…………………3分 则每袋小红旗为：15+5=20元答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元. ……………………4分（2）设购买b 袋小红旗恰好与a 袋贴纸配套，则有50a ∶20b=2∶1 ………………………………………………………5分 解得b =45a 答：购买小红旗45a 袋恰好配套. ………………………………………………………6分⌒（3）如果没有折扣，则w=15a +20×45a =40a ，依题意，40a ≤800， 解得a ≤20.当a ＞20时，则w=800+0.8（40a ﹣800）=32 a + 160 即w=⎩⎨⎧>+≤)20(16032)20(40a a a a ………………………………………………………8分国旗图案贴纸需：1200×2=2400（张） 小红旗需：1200×1=1200（面） 则a =502400=48（袋） b =45a =60（袋） 总费用w=32 ×48+ 160=1696（元） 答：所需购买国旗图案贴纸48袋，小红旗60袋，所需总费用1696元. …………………10分25.（1）证明 ：∵BF ⊥CE,∴∠CGB=900, ∴∠GCB+∠CBG =900, ∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠CBE=900=∠A, BC =AB ∴∠FBA+∠CBG =900, ∴∠GCB =∠FBA∴△ABF ≌△BCE(ASA) …………………………………………………2分(2) 证明 ：过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设CD=BC=2a ， E 为AB 中点，EA=EB= a , CE=a BE CB 522=+ Rt △CEB 中，根据面积相等，得：BG •CE=CB •EB.∴BG=a 552， CG=a BG CB 55422=- ………………………………3分 ∵∠DCE+∠BCE=900, ∠CBF+∠BCE=900, ∴∠DCE=∠CBF,∵CD=BC, ∠CQD=∠CGB =900,∴△CQD ≌△BGC(AAS) …………………………………………………4分 ∴CQ=BG=a 552, GQ=CG ﹣CH=a 552= CQ, ∵DQ= DQ, ∠CQD=∠GQD=900,∴△DGQ ≌△CDQ(SAS) …………………………………………………5分 ∴CD=GD …………………………………………………6分(3)解：S △CDQ =21•CG •DQ=21•CH •DG CH=DG DQ CG ⋅=CDCG 2=aa a 2554554⋅=a 58…………………………………………7分 在Rt △CHD 中，CD=2a ,DH=a CH CD 5622=-∵∠MDH+∠HDC=900, ∠HCD+∠HDC=900, ∴∠MDH=∠HCD∴△GHD ∽△DHM ∴DH ∶CH=DH ∶HM =6∶8=3∶4 ∴HM =a 109. 在Rt △CHG 中，CG=a 554，CH=a 58, GH=22CH CG -=a 54. ∵∠NGH+∠CGH=900, ∠HCG+∠CGH=900, ∴∠QGH=∠HCG∴△QGH ∽△GCH ∴HN ∶HG=HG ∶CH∴HN=a aa CH HG 5854542⋅==a 52 …………………………………………9分 ∴MN=HM ﹣HN=a 109﹣a 52=a 21∴a aNH MN 5221==45. …………………………………………10分26.解：（1）∵C 1的顶点C 2上，C 2的顶点C 1上，可求得C 1的顶点为A （－2，－1）， 又∵C 2过点A 、D 两点，则⎩⎨⎧-=+--=+-1636124c a c a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=241c a∴ y 2=－41x 2+x+2 …………………………………………………1分 ∴点B 的坐标为（2，3）. …………………………………………………2分 （2）直线AB 的解析式为：y=x+1.① 若B 为直角的顶点，BE ⊥AB ，k BE k AB =－1,得 ：k BE =－1, 则BE 的解析式为：y=－x+5. 联立⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=24152x x y x y 解得：⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧-==16y x 此时， E （6，－1）……3分 ② 若A 为直角的顶点，AE ⊥AB ，k AE k AB =－1,得 ：k AE =－1, 则AE 的解析式为：y=－x －3. 联立⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=24132x x y x y 解得：⎩⎨⎧-=-=12y x 或⎩⎨⎧-==1310y x 此时， E （10，－13）……4分 ③若E 为直角的顶点，设E （m, －41m 2+m+2 ） 由BE ⊥AE ，k BE k AE =－1, 即：21412--+-m m m •23412+++-m m m =－1， 解得：m=2或m=－2 （均排除） …………………………………………………5分 所以存在，E 1（6，－1）或E 2（10，－13）. …………………………………………………6分 （3）∵y 1≤y 2，观察图形可得：x 的取值范围为：－2≤x ≤2 ……………………………………7分 设M （t , 41t 2+t ）, N （t , －41t 2+t +2）,且－2≤t ≤2. 易求得直线AF 为：y=－x －3过点M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q,由y Q =y M ， 得，Q （41t 2－t －3，41t 2+t ） S 1 =21 |QM |•| y 1－y 2| =21t 2+4t +6 ……………………………………8分 设AB 交MN 于点P ，易知：点P 坐标为（t , t +1）S 2=21 |PN |•| x A －x B | = 2－21t 2 ……………………………………9分 ∴S= S 1+ S 2=4t +8当t =2时，有S的最大值为16. ……………………………………10分。