第4讲 不等式[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大．热点一 基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a >b >0，当a 22＋2b (a －b )取得最小值c 时，函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |＋|x －c |的最小值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．5 D ．4 2 答案 A解析 a 22＋2b (a －b )＝[b ＋(a －b )]22＋2b (a －b )≥2b (a －b )＋2b (a －b )≥22b (a －b )·2b (a －b )＝4，当且仅当a ＝2b ＝2时，上面不等式中两个等号同时成立， 所以a 22＋2b (a －b )的最小值为4，此时a ＝2，b ＝1，c ＝4，则f (x )＝|x －1|＋|x －2|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <1，5－x ，1≤x ≤2，x ＋1，2<x ≤4，3x －7，x >4，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最小值f (2)＝5－2＝3，故选A.(2)(2018·诸暨市高考适应性考试)已知a ，b 为正实数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值为________．答案 62－1解析 由(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，得a ＋b ＝9a ＋2b ＋1，则3a ＋4b ＝2(a ＋b )＋a ＋2b ＝18a ＋2b ＋1＋(a ＋2b ＋1)－1≥218a ＋2b ＋1×(a ＋2b ＋1)－1＝62－1，当且仅当18a ＋2b ＋1＝a＋2b ＋1>0时，等号成立，所以3a ＋4b 的最小值为62－1.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．跟踪演练1 (1)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝()x ＋y lg 2， ∴x ＋y ＝1，∴1x ＋9y＝()x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16，故选D.(2) 已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上运动，且AB →＝(2，2)，设|CE |＝x ，|CF |＝y ，若|AF →－AE →|＝|AB →|，则x ＋y 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．4 2 答案 C解析 ∵|AB →|＝2＋2＝2，|AF →－AE →|＝|AB →|， 又|AF →－AE →|＝|EF →|＝x 2＋y 2＝2, ∴x 2＋y 2＝4，∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2(x 2＋y 2)＝8， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴x ＋y ≤22，即x ＋y 的最大值为22，故选C.热点二 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例 2 (1)(2018·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________． 答案 －2 8解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6x ＋y ≥2，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)，将目标函数y ＝－13x 平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. (2)(2018·浙江省重点中学联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y <1，y ≥|2x －1|，则x 2＋y 2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，13B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，13答案 D解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP ，设z ＝x 2＋y 2，求z ＝x 2＋y 2的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围．由图可知，作OH ⊥MN 于点H ，由N (0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 得OH ＝OM ·ON MN ＝55， ∴z min ＝15.又∵OP 2＝22＋32＝13，但点P 不在图中阴影部分内， ∴z ＝x 2＋y 2取不到13，∴x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，13，故选D.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练2 (1)(2018·浙江省名校协作体联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，λx －y ＋2λ－2≥0表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－1,1] C ．[－1,2) D ．(1，＋∞)答案 D解析 在平面直角坐标系内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．直线λx －y ＋2λ－2＝0恒过定点(－2，－2)，由图易得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，λx －y ＋2λ－2≥0表示的平面区域为阴影部分在直线λx －y ＋2λ－2＝0下方的部分，当λ>1时，不等式组表示的平面区域经过四个象限；当23<λ≤1时，不等式组表示的平面区域不经过第二象限；当0≤λ≤23时，不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限；当λ<0时，不等式组表示的平面区域不经过第一象限，所以实数λ的取值范围是(1，＋∞)，故选D.(2)(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤m ，x ＋y ≥0，2x －y ≥0(m >0)表示的平面区域为Ω，P (x ，y )为Ω上的点，当2x ＋y 的最大值为8时，Ω的面积为( ) A ．12 B ．8 C ．4 D ．6 答案 D解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m ，－m )，(m,2m )为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(m,2m )时，z ＝2x ＋y 取得最大值，所以2m ＋2m ＝8，解得m ＝2，则此时平面区域Ω的面积为12×2×(4＋2)＝6，故选D.热点三 绝对值不等式及其应用 1．绝对值不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法． 2．绝对值三角不等式(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立．(2)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例3 (1)(2018·宁波期末)若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 等于( ) A.74 B ．2 C.94 D.114 答案 C解析 因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x ≥0，当x ＝1时，等号成立，所以m ＝0.又因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x ≤||x ||＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝|x |＋1|x |，当x <0时等号成立．设t ＝|x |，g (t )＝t ＋1t (1≤t ≤4)，则g ′(t )＝12t－1t2＝32222t t -,令g ′(t )＝32222t t-＝0，得t ＝34，所以函数g (x )在[1，34]上单调递减，在(34，4]上单调递增，且g (1)＝2，g (4)＝94，所以g (t )在[1,4]上的最大值为94，所以当x ＝－4时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 取得最大值M ＝94，所以M －m ＝94，故选C.(2)已知m ∈R ，要使函数f (x )＝|x 2－4x ＋9－2m |＋2m 在区间[0,4]上的最大值是9，则m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72解析 不等式即为|x 2－4x ＋9－2m |＋2m ≤9，x ∈[0,4]， 等价于|x 2－4x ＋9－2m |≤9－2m ，x ∈[0,4]， 2m －9≤x 2－4x ＋9－2m ≤9－2m ，x ∈[0,4]， 4m －18≤x 2－4x ≤0，x ∈[0,4]， 结合函数的定义域可得(x 2－4x )min ＝－4， 据此可得4m －18≤－4，m ≤72，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72. 思维升华 (1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件．(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定．跟踪演练3 (1)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ≥|(x －1)－x |＋|(y －1)－(y ＋1)|＝3， 当且仅当0<x <1，－1<y <1时等号成立．(2)(2018·杭州质检)设函数f (x )(x ∈R )满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2|≤34，则f (1)＝________. 答案 34解析 由题意得|f (1)－12|≤14，①|f (1)＋1－12|≤34，②由①得34≤f (1)≤54，由②得－34≤f (1)≤34，所以f (1)＝34.真题体验1．(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为__________． 答案 (2,4)解析 由－1<x －3<1，得2<x <4，故解集为(2,4)．2．(2017·浙江改编)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是____________． 答案 [4，＋∞)解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．3．(2016·浙江改编)已知实数a ，b ，c ，则下列正确的是________．(填序号) ①若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100； ②若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100； ③若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100； ④若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100. 答案 ④解析 对①，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，此式不成立； 对②，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，此式不成立； 对③，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，此式不成立． 故填④.4．(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.押题预测1．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4D.92押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合． 答案 C解析 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋yxy，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，当且仅当x ＝y 时取等号． ∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4. 2．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式． 答案 D解析 由定义知，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝4x ＋y 的最小值为( )A ．－6B ．6C ．7D ．8押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点． 答案 C解析 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线z ＝4x ＋y 过点C (1,3)时，z 取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.4．若不等式x 2＋2x <a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－2,0)押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点． 答案 A解析 不等式x 2＋2x <a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min .因为对任意a ，b ∈(0，＋∞)，a b＋16ba≥2a b ·16b a ＝8(当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b >0时取等号)，所以x 2＋2x <8， 解得－4<x <2，故选A.A 组 专题通关1．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a答案 B解析 方法一 ∵a >b >0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a， 又∵b ＝1a，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a·ln 2 ＝－a －2·2－a(1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.方法二 ∵a >b >0，ab ＝1， ∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.2．(2018·嘉兴市、丽水市测试)已知p ：不等式(ax －1)·(x －1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1，q ：a <12，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式(ax －1)(x －1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1，得a <0且1a<1，解得a <0，所以“不等式(ax－1)(x －1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1”是“a <12”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·绍兴市柯桥区质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，则z ＝－2x ＋y 的取值范围是( ) A ．[－4,0] B ．[－4，－1] C ．[－1,0] D ．[0,1]答案 A解析 作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，平移直线y ＝2x ＋z ，当其过点B (1,2)，C (2,0)时，目标函数z 分别取到最大值0和最小值－4，故选A.4．(2018·诸暨模拟)已知a ，b ∈R ，|a －sin 2θ |≤1，|b ＋cos 2θ|≤1，则( ) A ．a ＋b 的取值范围是[－1,3] B ．a ＋b 的取值范围是[－3,1] C ．a －b 的取值范围是[－1,3] D ．a －b 的取值范围是[－3,1] 答案 C解析 由|a －sin 2θ|≤1，|b ＋cos 2θ|≤1，得－1≤a －sin 2θ≤1，－1≤b ＋cos 2θ≤1，则－1≤－b －cos 2θ≤1，所以－2≤a －sin 2θ＋(－b －cos 2θ)≤2，即－2≤a －b －1≤2，所以－1≤a －b ≤3，故选C.5．已知正项等比数列{a n }的公比为3，若a m a n ＝9a 22，则2m ＋12n 的最小值等于( )A ．1 B.12 C.34 D.32答案 C解析 ∵正项等比数列{a n }的公比为3，且a m a n ＝9a 22， ∴a 2·3m －2·a 2·3n －2＝a 22·3m ＋n －4＝9a 22，∴m ＋n ＝6，∴16×(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋12n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 2n ＋2n m ＋12≥16×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2＝34，当且仅当m ＝2n ＝4时取等号．故选C.6．(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( ) A ．－15≤t ≤1B ．0≤t ≤1C ．t ≤1D ．1≤t ≤5答案 C解析 |x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|≥|(x ＋t 2－2)－(x ＋t 2＋2t －1)|＝|2t ＋1|，则由关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，得|2t ＋1|≥3t ，解得t ≤1，故实数t 的取值范围为t ≤1，故选C.7．(2018·嘉兴市、丽水市测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x ，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．5 3B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8，得x ＋y －8＝1x ＋4y，则(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x >0时，等号成立，令t ＝x ＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9， 因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥9， 所以x ＋y 的最小值为9，故选B.8．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( ) A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6答案 A解析 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.9．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]解析 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 10．已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 方法一 由x ＋y ＝1，得y ＝1－x .又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12.由0≤x ≤1，得0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14，即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 方法二 x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy . 因为1＝x ＋y ≥2xy ， 所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.方法三 依题意，x 2＋y 2可视为原点与线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max ＝OA 2＝OB 2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.11．(2018·台州市联考)若实数x ，y 满足x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，则x ＋2y 的最小值为________，7(x ＋2y )＋2xy 的最大值为__________． 答案 －4 2 16解析 因为x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，所以(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，则(x ＋2y )2≤32，－42≤x ＋2y ≤42，即x ＋2y 的最小值为－42.由(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，不妨设⎩⎨⎧x ＋2y ＝42sin θ，2xy ＝42cos θ，则7(x ＋2y )＋2xy ＝42(7sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝77，所以当sin(θ＋φ)＝1时，7(x ＋2y )＋2xy 取得最大值16. 12．(2018·浙江省衢州二中模拟)已知实数x ，y 满足x >1，y >0，且x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________． 答案 9 解析 由x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11得 1x －1＋1y ＝10－[(x －1)＋4y ]， 则⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y {10－[(x －1)＋4y ]}＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x －1＋x －1y≤10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24y x －1·x －1y ＝10⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y －9，当且仅当4y x －1＝x －1y，即2y ＝x －1>0时，等号成立， 令t ＝1x －1＋1y，则有t 2≤10t －9， 解得1≤t ≤9，所以1x －1＋1y的最大值为9. B 组 能力提高13．(2018·台州市联考)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，x －2y －2≤0，若z ＝2x 2－y －2，则( )A ．z 的最小值为－258B ．z 的最小值为－3C ．z 的最大值为33D ．z 的最大值为6答案 A解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数z ＝2x 2－y －2与平面区域内的边界x －y ＋1＝0(x ≥0)相切时，z ＝2x 2－y －2取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2x 2－y －2，x －y ＋1＝0，消去y 化简得2x 2－x －3－z ＝0，因为曲线z＝2x 2－y －2与x －y ＋1＝0(x ≥0)相切，所以关于x 的一元二次方程2x 2－x －3－z ＝0有两个相等的正实数根，则(－1)2－4×2×(－3－z )＝0，解得z ＝－258，满足题意，即目标函数z ＝2x 2－y －2的最小值为－258，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值，故选A.14．(2018·浙江省杭州第二中学等五校联考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，有以下四个命题：①以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； ②以2a ,2b ,2c为边长的三角形一定存在； ③以a 3，b 3，c 3为边长的三角形一定存在；④以|a －b |＋c ，|b －c |＋a ，|c －a |＋b 为边长的三角形一定存在． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由题意不妨设a ≥b ≥c ，则b ＋c >a .对于①，(b ＋c )2－(a )2＝b ＋c ＋2bc －a >0，所以以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在，①正确；对于②，令a ＝5，b ＝c ＝3，此时a ，b ，c 可以构成三角形，而2a ＝32,2b ＝2c ＝8，则2a ,2b ,2c 不能构成三角形，②错误；对于③，取a ＝3，b ＝c ＝2，此时a ，b ，c 可以构成三角形，而a 3＝27，b 3＝c 3＝8，则a 3，b 3，c 3不能构成三角形，③错误；对于④，因为|a －b |＋c ＝a ＋c －b ，|b －c |＋a ＝|c －a |＋b ＝a ＋b －c ，且a ＋b －c ≥a ＋c －b ，所以|b －c |＋a ＋|c －a |＋b >|a －b |＋c ，所以以|a －b |＋c ，|b －c |＋a ，|c －a |＋b 为边长的三角形一定存在，④正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选B.15．(2018·浙江省台州中学统练)设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根，则当m ＋k 取到最小值时，m ＝________，k ＝________. 答案 6 7解析 设f (x )＝mx 2－kx ＋2，则方程mx 2－kx ＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根等价于函数f (x )＝mx 2－kx ＋2在(0,1)内有两个不同的零点，又因为f (0)＝2>0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (1)＝m －k ＋2>0，0<k2m <1，(－k )2－8m >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －k ＋2>0，2m >k >0，k 2－8m >0，以m 为横坐标，k 为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －k ＋2>0，2m >k >0，k 2－8m >0所表示的平面区域如图中阴影部分(不包括边界)所示，又因为m ，k 为整数，则由图易得当目标函数z ＝m ＋k 经过平面区域内的点(6,7)时，z ＝m ＋k 取得最小值z min ＝6＋7＝13，此时m ＝6，k ＝7.16．已知a >b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意，得a >b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，所以a >0，且Δ＝4－4ab ≤0，所以ab ≥1.由存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，可得Δ＝0，所以ab ＝1，所以a >1，所以a 2＋b 2a －b＝a 2＋1a 2a －1a＝a 4＋1a 3－a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫a 4＋1a 3－a 2＝a 8＋1＋2a 4a 6＋a 2－2a 4＝a 4＋1a4＋2a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－22＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－2，令a 2＋1a2＝t >2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋1a 3－a 2＝(t －2)2＋4(t －2)＋4t －2＝(t －2)＋4t －2＋4 ≥2(t －2)·4t －2＋4＝4＋4＝8， 当且仅当t ＝4时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋1a 3－a 2的最小值为8，所以a 2＋b 2a －b的最小值为2 2.。