2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题（教师版）1、（2005年）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解析：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+，设点(),P x y 是1C 上任意一点，则()()()2222211||117A P x y x x x b =-+=-+-+令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=，即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上，222127x x b ∴=-+，解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+(Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则()()()22222||n n n n nA P x x y x x x a x b =-+=-+++令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=，即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n nn n n x a x b ++=++ ，()()()112201nn n n n x x x a n ++∴-++=≥，即()()111220*n nn nn xx a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-，①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k xx a +++-+=，又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}n x 是等差数列2、（2006年）已知函数23)(x x x f +=，数列{x n ｜(x n ＞0)}的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）。

求证：当n *N ∈时，（Ⅰ）121223+++=+n n n n x x x x ；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 解析：证明：（Ⅰ）因为xx x f 23)(2+='所以曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线斜论121123++++=n n n x x k 因为过（0，0）和))(,(n n x f x 两点的直线斜率是n n x x +2，所以n n x x +2=12123+++n n x x （II ）因为函数x x x h +=2)(当x >0时单调递增，而n n x x +2=12123+++n n x x ≤12124+++n n x x =1212)2(+++n n x x 所以12+≤n n x x ，即211≥+n n x x ，因此，112211)21(----≥⋅⋅⋅=n n n n n n x x x x x x x 又因为n n x x +2≥)(2121+++n n x x ，令n n n x x y +=2，则211≤+n n y y 因为21211=+=x x y ，所以21121()21(--=⋅≤n n n y y ，因此≤n x 22)21(-≤+n n n x x ，故21)21(21(--≤≤n n n x3、（2007年）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++= 的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．解析：（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++= 的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，，所以12a =；当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．（II ）解：2122nn S a a a =+++ 2(363)(222)nn =+++++++ 2133222n n n++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n n T a a a a a a a a +--=+-++ ，所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=．当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++ ，345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥1116626n=+> ，同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++ 5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ ≤31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ ≤515249224n =-< ．综上，当n ∈N *时，15624n T ≤≤．4、（2008年）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121∙++∈=-+N n a a a n n n ．记n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当∙∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

解析：（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <．②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++，所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =- ，，，（2n ≥），得22231()(1)n n a a a a n a ++++--= ．因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，所以2n S n >-．（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得111(2313)12k k ka k n n a a ++=-+ ≤，，，，≥所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++ ≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++ ≤≥，故当3n ≥时，21111322n n T -<++++< ，又因为123T T T <<，所以3n T <5、（2011年）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，11a ，21a ，41a 成等比数列。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S ,n B ＝11a +21a +221a +…+121-n a ，当n ≥2时，试比较n A 与n B 大小。

解析：6、（2013年）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.(Ⅰ)求d ，n a ；ⅠⅠ()120,|||||.n da a a <+++ 若求|(Ⅰ)解;：由题意得223125(22)34014a a a d d d d ⋅=+⇒--=⇒=-=或所以11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d<由(Ⅰ)得1,11,n d a n =-=-则当11n ≤时，212121||||||.22n n a a a S n n +++==-+ 当12n ≥时，21211121||||||2110.22n n a a a S S n n +++=-+=-+ 综上即得212212111,22||||||12111012.22n n n n a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+≥⎪⎩ 7、（2014年）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求n a 与n b ；ⅠⅠ()设()*∈-=N n b a c nn n11。