f (p )
（7）、卷积定理 若 L[ f1(t)] f1( p)
L[ f2 (t)] f2 ( p)
L[ f1(t)* f2 (t)] f1( p) f2 ( p)
t
其中
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
称为 f1(t)与 f2(t) 的卷积
证明： L[ f1(t)* f2 (t)]
1
f ( p)
aa
证明：
L[ f (at)] f (at)e p tdt 0
1
p at
f (at)e a d (at)
a0
1
p
f ( )e a d ( )
a0
1 f ( p) aa
（5）、延迟定理
L[ f (t t0 )] e pt0 f ( p)
证明：
L[ f (t t0)]
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
2 0
2
f ( p) f (t)e p tdt 0
称为 f(t) 的拉普 拉氏变换函数 （像函数）
G() 的逆变换
f (t)e t G()ei td f ( p) ei td
2
i p d dp / i
f (t) 1 i f ( p)e p tdp
2 i i
称 f(t) 为原函数
f (t) f ( p) 原函数f(t)
f ( p) L[ f (t)] f (t) L1[ f ( p)]
像函数 f ( p)Biblioteka 例：求 L[1]解：
L[1] 1 e p tdt 1
L[c1 f1(t) c2 f2 (t)]
0
[c1
f1(t)
c2
f2
(t)]e
p
t
dt
c1
0
f1(t)e p tdt
c2
0
f2 (t)e p tdt
c1 f1( p) c2 f2 ( p)
（2）、导数定理
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
证明：
L[ f '(t)] f '(t)e p tdt e p tdf (t)
0
n! p n1
L[t n ]
n! p n1
(Re p 0)
例：求 L[est] , s为常数
解： L[est ] est e p t dt 0
1 e( ps) t ps
0
1 ps
L[est ] 1 ps
(Re p Re s)
L[t nest ]
t nest e p t dt
0
f
(t
t0 )e ptdt
f ( )e p( t0 )d 0
e pt0 f ( )e p d 0
e pt0 f ( p)
（6）、位移定理
L[et f (t)] f ( p )
证明：
L[et f (t)] e t f (t)e ptdt 0 f (t)e( p)tdt 0
（3）、积分定理
L[
t
( )d ]
1 ( p)
0
p
证明： 令
t
f (t) 0 ( )d
f '(t) (t)
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
f (0) 0
f ( p) 1 L[ f '(t)]
p
L[
t
( )d ]
1 ( p)
0
p
（4）、相似定理
L[ f (at)]
第六章 拉普拉氏变换
§6.1 符号法 §6.2 拉普拉氏变换 §6.3 拉普拉氏变换反演
§6.2 拉普拉氏变换
（一）、拉普拉氏变换的定义
对于任意函数 f(t)，设 t<0, f(t)0, 只要 足够大，
g(t)=f(t)e - t 的付氏变换为
[ f (t)e t ] G() 1 f (t)e tei tdt
f
(t)]
(1)n
d
n f ( p) dp n
（二）、拉普拉斯变换的性质 f ( p) L[ f (t)]
（1）、线性定理
如： f1( p) L[ f1(t)]
f2 ( p) L[ f2 (t)]
则 L[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1 f1( p) c2 f2 ( p)
证明：
0
n! ( p s)n1
L[t nest ]
n! ( p s)n1
(Re p Re s)
例：求 L[tf(t)] , f(t)为任意函数
解：
f ( p) f (t)e p tdt 0
df ( p)
t
f
(t)e p tdt
dp
0
L[tf (t)] df ( p) dp
L[t n
t=
[
0
t 0
f1( ) f2 (t )d ]e ptdt
t
[
0
f2 (t )dt]f1( )e ptd
L[ f1(t)* f2 (t)]
[
0
f2 (t )dt]f1( )e ptd
令 t
0 f2 ( )[
0
f1( ) e p ( )d ]d
[
0
f2 ( )e p d ][
0
p
L[1] 1 p
(Re p 0)
例：求 L[t], L[tn]
解： L[t] t e p tdt 1 t d (e p t )
0
p0
1 t ept p
0
1 p
e p t dt
0
1 p2
L[t]
1 p2
(Re p 0)
L[t n ]
t n e p t dt
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
§6.3 拉普拉氏变换反演
例：求
f
( p)
p2
p 2p5
的 Laplace 逆变换
解：
f
( p)
p2
p 2p5
p 11 ( p 1)2 4
0
0
ep t
f
(t)
0
f (t)d (e p t )
0
f (0) p f (t)e p tdt 0
p f ( p) f (0)
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
L[ f (n) (t)] pn f ( p) pn1 f (0) pn2 f '(0) pf (n2) (0) f (n1) (0)
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)