第32练 直线与圆锥曲线的综合问题[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.常考题型精析题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________________.(2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)，其离心率为22. ①求椭圆M 的方程；②若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3). (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题例2 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为6，点P 是椭圆短轴的一个端点，△PF 1F 2的周长为16.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l 被椭圆C 所截得的线段中点的坐标.点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.变式训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP →＝tOE →，求实数t 的值.高考题型精练1.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.2.如图，已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0,1).(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求MN 的最小值.3.(2015·南京模拟)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求AF ·BF 的最小值.4.已知点A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线l 上，且焦点F 到直线x －y ＋2＝0的距离为322. (1)求抛物线C 的方程；(2)现给出以下三个论断：①直线AB 过焦点F ；②直线AD 过原点O ；③直线BD 平行于x 轴. 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.答案精析第32练 直线与圆锥曲线的综合问题常考题型典例剖析例1 (1)⎝⎛⎦⎤0，32 解析 设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4，∴AF ＋AF 0＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则|3×0－4×b |32＋(－4)2＝4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. (2)解 ①因为椭圆M 的离心率为22， 所以4－b 24＝⎝⎛⎭⎫222，得b 2＝2. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1. ②(ⅰ)过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交.(ⅱ)过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－142∪⎝⎛⎭⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交.变式训练1 解 (1)由已知条件得椭圆C 的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，PF 1＝(2＋2)2＋3＝9＋42＝22＋1，PF 2＝(2－2)2＋3＝9－42＝22－1，2a ＝PF 1＋PF 2＝42，则a ＝2 2.b 2＝a 2－c 2＝4，因此椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设D (x 1,0)， DA →＝(－x 1,22)， EA →＝(－x 0,22)；由DA →⊥EA →，得DA →·EA →＝0，则G (－x 1,0)x 1x 0＋8＝0，则x 1＝－8x 0，k QG ＝y 0x 0＋x 1＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8， 直线QG 的方程为y ＝x 0y 0x 20－8⎝⎛⎭⎫x －8x 0＝yx 20－8(x 0x －8)，又x 208＋y 204＝1，y 20＝4⎝⎛⎭⎫1－x 28＝12(8－x 20)，可得y ＝±28－x 202(x 20－8)(x0x －8)，①将①代入x 28＋y 24＝1整理得8x 2－16x 0x ＋8x 20＝0，Δ＝(－16x 0)2－4×64x 20＝0，∴直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.例2 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，则由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ＝6，2a ＋2c ＝16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.故所求椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)方法一 过点(3,0)且斜率为45的直线l 的方程为y ＝45(x －3)，将之代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1， 即x 2－3x －8＝0.因为点(3,0)在椭圆内，设直线l 与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45×(32－3)＝－65. 故所求线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 方法二 过点(3,0)且斜率为45的直线l 的方程为y ＝45(x －3)，因为(3,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点M 的坐标为(x 0，y 0)， 则有⎩⎨⎧ x 2125＋y 2116＝1， ①x 2225＋y 2216＝1， ②由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)25＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)16， 即16x 025y 0＝－45.又y 0＝45(x 0－3), 所以⎩⎨⎧ x 0＝32，y 0＝－65.故所求线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65.变式训练2 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)①当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2.将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝ 2－m 22， 所以S △AOB ＝|m | 2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.(ⅰ) 又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)， 又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得t 2＝4或t 2＝43. 又因为t >0，所以t ＝2或t ＝233. ②当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4knx ＋2n 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝16k 2n 2－4(1＋2k 2)(2n 2－2)>0得1＋2k 2>n 2.此时x 1＋x 2＝－4kn 1＋2k 2，x 1x 2＝2n 2－21＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2n ＝2n 1＋2k 2. 所以AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2 2 1＋k 2 1＋2k 2－n 2(1＋2k 2)2. 又点O 到直线AB 的距离d ＝|n |1＋k 2. 所以S △AOB ＝12d ·AB ＝12×2 2 1＋k 2 1＋2k 2－n 2(1＋2k 2)2|n |1＋k 2.＝2·1＋2k 2－n 2(1＋2k 2)2·|n |＝64. 令r ＝1＋2k 2代入上式得：3r 2－16n 2r ＋16n 4＝0.解得r ＝4n 2或r ＝43n 2， 即1＋2k 2＝4n 2或1＋2k 2＝43n 2. 又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2knt 1＋2k 2，nt 1＋2k 2. 又点P 为椭圆C 上一点， 所以t 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kn 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 1＋2k 22＝1， 即n 21＋2k 2t 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2k 2＝4n 2或1＋2k 2＝43n 2，n 21＋2k 2t 2＝1得t 2＝4或t 2＝43. 又t >0，故t ＝2或t ＝233. 经检验，适合题意.综合①②得t ＝2或t ＝233. 常考题型精练1.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3,2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1.又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2， 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2， 因为k BM －1＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2)(3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3](3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2)＝0所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行.2.解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以MN ＝2|x M －x N | ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝82k 2＋1|4k －3|. 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，MN ＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，MN ＝2 2 ⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时， MN 的最小值是852. 3.解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知AF ＝y 1＋1，BF ＝y 2＋1，所以AF ·BF ＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，所以y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以AF ·BF ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， 所以当y 0＝－12时，AF ·BF 取得最小值，且最小值为92. 4.解 (1)∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，依题意得d ＝|p 2－0＋2|2＝322， 解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①命题.若直线AB 过焦点F ，且直线AD 过原点O ，则直线BD 平行于x 轴.设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0， ∴y 1y 2＝－4.直线AD 的方程为y ＝y 1x 1x ， ∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－y 1x 1.∴－y 1x 1＝－4y 1y 21＝－4y 1＝y 2.∴直线BD 平行于x 轴. ②命题：若直线AB 过焦点F ，且直线BD 平行于x 轴，则直线AD 过原点O .设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0，∴y 1y 2＝－4，即点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，－4y 1， ∵直线BD 平行于x 轴，∴D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－4y 1. ∴OA →＝(x 1，y 1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－1，－4y 1.由于x 1⎝⎛⎭⎫－4y 1－y 1(－1)＝－y 1＋y 1＝0， ∴OA →∥OD →，即A ，O ，D 三点共线.∴直线AD 过原点O .③命题：若直线AD 过原点O ，且直线BD 平行于x 轴，则直线AB 过焦点F . 设直线AD 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则点D 的坐标为(－1，－k )，∵直线BD 平行于x 轴，∴y B ＝－k .∴x B ＝k 24，即点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫k 24，－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得k 2x 2＝4x ，∴x A ＝4k 2，y A ＝4k，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . ∴F A →＝⎝⎛⎭⎫4k 2－1，4k ，FB →＝⎝⎛⎭⎫k 24－1，－k ，∵⎝⎛⎭⎫4k 2－1(－k )－4k ·⎝⎛⎭⎫k 24－1＝－4k ＋k －k ＋4k＝0. ∴F A →∥FB →，即A ，F ，B 三点共线.∴直线AB 过焦点F .。