方法 2 集合间的基本关系的解题方法
1.判断集合间基本关系的方法有三种:(1)一一列举观察;(2)集合中元素 特征法,首先确定集合中的元素是什么,弄清楚集合中元素的特征,再判 断集合间的关系;(3)数形结合法,利用数轴或韦恩图求解. 2.子集与真子集:集合A的真子集一定是其子集,而集合A的子集不一定 是其真子集.若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.
(
C ) D.6个
C.5个
解题导引
解析 由36-x2>0可解得-6<x<6,又x∈N,故x可取0,1,2,3,4,5,故S={0,1,2,3, 4,5}. 由题意可知:集合M不能含有0,1,且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2, 3}、{2,5}、{3,4}、{3,5}、{4,5}.
解题导引
解析 当a=0时,无论b取何值,z=a÷b=0;
1 2 1 当a=-1,b=2时,z=- ; 2 1 当a=1,b=-2时,z=- ; 2 1 当a=1,b=2时,z= . 2 1 1 0, , 故P⊗Q= ,该集合中共有3个元素,所以选B. 2 2
当a=-1,b=-2时,z= ;
1 2
即A= ,1 .
由y= 3x 2 2 x 得3x2-2x≥0,解得x≤0或x≥ .
2 2 , 所以B=(-∞,0]∪ , ∁ B = U 0, , 3 1 2 故A∩(∁UB)= , , 故选D. 2 3 3
1 2
利用集合的运算与性质.
例4 (2016江西九江七校联考,8)设A是自然数集的一个非空子集,对于k ∈A,如果k2∉A,且 k∉A,那么k是A的一个“酷元”,给定S={x∈N|y= lg(36-x2)},设M⊆S,集合M中有两个元素,且这两个元素都是M的“酷元”, 那么这样的集合M有 A.3个 B.4个
方法 3 集合的基本运算的解题方法
集合的交、并、补运算需注意以下三个方面:一是确定集合中元素的形 式,即辨清是数集、点集还是图形集等;二是对集合的化简,要先对集合 中元素的性质进行化简,再进行相关运算;三是要善于借助数轴或韦恩 图等工具,运用数形结合的方法进行求解. 例3 (2017河北衡水中学三调,2)已知集合A={x|log3(2x-1)≤0},B={x|y=
1 2
例2 (2017湖南长沙一中二模,2)已知A={y|y= x ,0≤x≤1},B={y|y=kx+1,
x∈A},若A⊆B,则实数k的取值范围是( D ) A.k=-1 C.-1≤k≤1 B.k<-1 D.k≤-1
解题导引
解析 由题意得A={y|0≤y≤1},B={y|y=kx+1,0≤x≤1}, 且A⊆B,显然k<0,此时B={y|k+1≤y≤1}, 要使A⊆B,需k+1≤0,即k≤-1,故选D.
方法技巧
方法 1 与集合元素有关问题的解题方略
1.确定集合的代表元素; 2.看代表元素满足的条件; 3.根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,但要注意,检验集合 中的元素是否满足互异性. 例1 (2017豫北名校12月联考,2)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合 P⊗Q={z|z=a÷b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P⊗Q中元素 的个数是 ( B ) A.2 B.3 C.4 D.5
4.常用数集及其符号表示
名称 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(自然数集)
符号 ① N N 或N+
*
② Z
Q
R
考点二 集合间的基本关系
名称 子集 自然语言描述 如果集合A中所有元素都是 集合 B中的元素,则称集合A为集 合B的 子集 真子集 如果集合A⊆B,存在元素a∈ ③ A⫋B(或B⫌A) B,但 a∉A,则称集合A是集合B的真 子 集 集合相等 如果集合A与集合B中的元 素相 同,那么就说集合A与集合B 相等 A=B 符号语言表示 A⊆B (或B⊇A) Venn图表示
考点三 集合的基本运算
并集 对于两个给定集合A、B,由所有 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
属于集合A或属于集合B的元素
组成的集合 交集 对于两个给定集合A、B,由所有 属于集合A且属于集合B的元素 组成的集合 补集 对于一个集合A,由全集U中不属 于集合A的所有元素组成的集合 称为集合A在全集U中的补集,记 作∁UA ∁UA={x|x∈U,且x∉A} ④ A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3x 2 2 x },全集U=R,则A∩(∁UB)等于
(
D )
A. ,1
1 2
B. 0, 3


2
C. ,1
2 3
D. , 2 3
1 2
解题导引
解析 由log3(2x-1)≤0,得0<2x-1≤1,解得 <x≤1,
2 3
方法 4 求解集合新定义问题的技巧
1.正确理解题意,把新定义所表达的数学本质弄清楚,进而转化成熟知的 数学情境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础. 2.合理利用集合的性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算 性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件
给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,但关键之处还是合理
高考理数
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念及运算
知识清单
考点一 集合的含义与表示
1.集合与元素
(1)元素的特征:确定性、互异性、无序性;
(2)元素与集合的关系:属于(用符号“∈”表示)与不属于(用符号 “∉”表示).
2.集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.
3.集合的分类 (1)有限集:元素的个数是有限个; (2)无限集:元素的个数是无限个; (3)空集:不含有任何元素.