第二章 习题 P371、求下列函数的Z 变换（1）at e t f --=1)(>> syms a n T>> FZ=(ztrans(1-exp(-a*n*T)))FZ = z/(z - 1) - z/(z - 1/exp(T*a))>> simple(FZ)>> pretty(FZ)z z----- - ------------z - 1 1z - --------exp(T a)（2）k t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41)( k>=0 >> syms k>> FZ=ztrans((1/4)^k)FZ = z/(z - 1/4)>> syms a n T>> FZ=ztrans((1/4)^(n*T))FZ =z/(z - (1/4)^T)（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)2(6)(s s s F 方法 1 （假设采样周期为 1 ）gs=tf([6],[1 2 0])gz=c2d(gs,1,'imp')Transfer function:2.594 z----------------------z^2 - 1.135 z + 0.1353Sampling time: 1方法2 （采用符号计算工具箱，正确）>> syms s n T>> ft = ilaplace( 6/(s*(s+2)) )ft = 3 - 3/exp(2*t)>>FZ=(ztrans(3 - 3/exp(2*n*T)))FZ =(3*z)/(z - 1) - (3*z)/(z - exp(-2*T))>> pretty(FZ)3 z 3 z----- - -------------z - 1 z - exp(-2 T)补充：(1) 单位阶跃信号的Z变换>> f = n/nf =1>> ztrans(f)ans = z/(z - 1)(2) 单位速度信号的Z变换>> f = nf =n>> ztrans(f)ans =z/(z - 1)^2 %只反映了T=1时的情况>> syms n T;>> f = n*Tf =T*n>> ztrans(f)ans =(T*z)/(z - 1)^2 %正确(3) 单位加速度信号的Z变换>> f = 0.5*(n*T)^2>> ztrans(f)(4) 广义Z 变换延迟0.25 T 的速度信号的Z 变换>> f = n*T+0.75*Tf =(3*T)/4 + T*n>> ztrans(f)ans =(3*T*z)/(4*(z - 1)) + (T*z)/(z - 1)^2该式乘以z^(-1) 得到结果。
与教科书P27表上结果相同。
e^(-at) 延迟q* T 后的Z 变换>> syms a n q T>> FZ= ztrans( exp(-a*(n-q)*T) )>> FZ= ztrans( exp(-a*n*T) *exp(a*q*T))FZ = (z*exp(T*a*q))/(z - exp(-T*a))e^(-at) 超前b* T 后的Z 变换>> syms a n q b TFZ= ztrans( exp(-a*n*T) *exp(-a*b*T))FZ =(z*exp(-T*a*b))/(z - exp(-T*a))将此式乘以z^(-1) 得到结果。
与教科书P27表上结果相同。
2、求下列函数的初值和终值（1）：211)1(10)(---=z z z F 解：>> F= 10*z^(-1)/(1-z^(-1) )^2F = 10/z/(1-1/z)^2根据初值定理,初值就是当z 趋于无穷大时F(Z)的值syms zlimit(F,z,inf)ans = 0根据终值定理,终值就是当z 趋于1时F(Z)*(z-1)的值>> limit(F*(z-1),z,1)ans = NaN（2）：321215.2621341)(-----+++++=zz z z z z F >> F= (1+4*z^(-1)+3*z^(-2))/(1+2*z^(-1)+6*z^(-2)+2.5*z^(-3))F = (1+4/z+3/z^2)/(1+2/z+6/z^2+5/2/z^3)>> limit(F,z,inf)ans = 1>> limit(F*(z-1),z,1)ans = 03、求下列各函数的Z 反变换。
（1）：5.0)(-=z z z F >> f=z/(z-0.5);>> iztrans(f)ans = (1/2)^n （2）：)1.0)(8.0()(2--=z z z z F >> f=z^2/((z-0.8)*(z-0.1));>> iztrans(f)ans =8/7*(4/5)^n-1/7*(1/10)^n第三章 习题 P37习题1、试求如题图3.1所示的采样控制系统在单位阶跃信号作用下的输出响应y *（t ）。
设G(s)=)10(20+s s ，采样周期T=0.1s 。
% 先求Z 变换，再求闭环传递函数和响应，正确。
gs=tf([20],[1 10 0]);gz=c2d(gs,0.1,'imp');gzb1=gz/(gz+1);gzb2=feedback(gz,1); %两种方式均可y=step(gzb1);step(gzb1,gzb2);% 方法二，也正确。
gs=tf([20],[1 10 0]);gz=c2d(gs,0.1,'imp');gzb2=feedback(gz,1);rz=tf([1 0],[1 -1],0.1); %阶跃输入信号的Z变换yz=rz*gzb2;impulse(yz)% 先求闭环传递函数，再求Z变换和响应，错误。
gsb1=feedback(gs,1);%gsb1=gs/(gs+1);gzb3=c2d(gsb1,0.1,'imp'); % 用冲击响应不变法，实际却是阶跃输入，错误。
gzb4=c2d(gsb1,0.1); % 用阶跃响应不变法，仍然错误。
step(gsb1, gzb2,gzb3,gzb4)习题2 求单位速度作用下的稳态误差gs=tf([1],[0.1 1 0]);T=0.1;gz=c2d(gs,T,'imp');gzb=feedback(gz,1); % 先求Z变换，再求闭环传递函数和响应，正确rz = tf([0.1 0],[1 -2 1],T); %单位速度信号rz1 = zpk([0],[1 1],T,T); %效果相同yz=rz*gzb;impulse(yz);t=[0:0.1:10]'; %效果相同ramp=t;lsim(gzb,ramp,t)[y,t1] = lsim(gzb,ramp,t);ER = ramp - yplot(ER,t),grid %误差曲线gs=tf([1],[0.1 1 0]); %连续情况，稳态误差为1gsb=feedback(gs,1);rs = tf([1],[1 0 0]); %单位速度信号ys=rs*gsb;t1=0:0.01:10;impulse(ys,t1);t=[0:0.01:10]'; %效果相同ramp=t;lsim(gsb,ramp,t)习题 5 分析稳定性gs=tf([1],[1 1 0]);T=1;gz=c2d(gs,T,'imp');gzb=feedback(gz,1);pzmap(gzb)gz1=tf([1],[45 -117 -119 -39],1);pzmap(gz1)9、一闭环系统如题图3.2所示，设G(s)=)1(1+s s ，采样周期T=1s 。
试求： （1）绘制开环系统的幅相频率特性曲线。
（2）绘制开环系统的Bode 图。
（3）确定相位裕度和幅值裕度。
（4）求闭环系统的单位阶跃响应。
（5）求闭环（连续）系统的单位阶跃响应。
Gs=tf([1],[1 1 0])Gz=c2d(Gs,1)ltiviewnyquist(Gz)bode(Gz)simulink P57_9P62 例4.1、某控制系统如题图4.1所示， )1(10)(0+=s s s G ，T = 1s ，针对单位速度输入设计有纹波系统的数字控制器。
Gs=tf([10],[1 1 0])Gz=c2d(Gs,1)Transfer function:3.679 z + 2.642----------------------z^2 - 1.368 z + 0.3679>>Wez=filt([1 -2 1],[1],1)Transfer function: 1 - 2 z^-1 + z^-2 >> Wz=1-WezTransfer function: 2 z^-1 - z^-2>> Dz = (1-Wez)/Wez/GzTransfer function:2 - 3.736 z^-1 + 2.104 z^-2 - 0.3679 z^-3 --------------------------------------------3.679 -4.715 z^-1 - 1.606 z^-2 + 2.642 z^-3 >> Rz=filt([0 T],[1 -2 1],-1)Transfer function:z^-1-----------------1 -2 z^-1 + z^-2方法1>>Yz=Rz*WzTransfer function:2 z^-2 - z^-3-----------------1 -2 z^-1 + z^-2Sampling time: 1>> impulse(Yz)方法2t=[0:1:100]'ramp=tlsim(Wz,ramp,t)有纹波simulink P62_4_1Gz1=d2d(Gz,0.2)； %改变采样周期，结果不稳定Dz1=d2d(Dz,0.2,'tustin')；Wz1= feedback((Dz1*Gz1),1)；t1=[0:0.2:100]';ramp1=t1;lsim(Wz1,ramp1,t1)对上题，针对单位速度输入设计快速无波纹系统的数字控制器 P73>> pole(Gz)ans =1.00000.3679>> zero(Gz)ans =-0.7183需要手算系数方程，见P72P92习题 2>> den=conv([1 0],conv([0.1 1],[0.05 1]))den = 0.0050 0.1500 1.0000 0>> Gs=tf([1],den)>> Gz=c2d(Gs,0.1)其余步骤同上题6、某控制系统如图4.1所示，已知被控对象的传递函数为)1(5)(0+=s s s G ，设采样周期为0.1试设计数字控制器D(z)，使系统对等速输入响应在采样带你上无稳态误差，同时对阶跃响应的超调量和调整时间均有所折中，并画出所选阻尼因子所对应的阶跃响应和等速响应的曲线。