专题复习10 建模问题-建立函数模型
【简要分析】
函数应用问题是近年中考热点题型，它以函数知识为背景，具有创新性、开放性，针对社会热点，有强烈的时代气息，贴近学生的生活实际.解答这类问题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象、转化为数学问题，建立函数模型，从而求得实际问题的答案. 【典型考题例析】
例1 小明想为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价是49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯照明亮度相同，使用寿命都可达2800小时，已知小明家所在地的电价是每千瓦0.5元.⑴设照明时间x 小时，请用含x 的代数式分别表示用一盏节能灯的费用y 1和一盏白炽灯的费用y 2(费用=灯售价+电费).⑵小明想在两种灯中选购一盏，照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，选用节能灯合算？
(2005年安徽省六安市中考题改编)
分析与解答 ⑴根据“费用=灯售价
+电费”得 y 1 =49 +0.009⨯0.5x =49 +0.0045x y 2 =18 +0.04⨯0.5x =18 +0.02x
⑵在同一坐标系内画出y 1、y 2的图象如图2-3-1，两条射线的交点坐标为(2000，58).观察图象可知，当照明时间小于2000小时时，y 2的图象在y 1的下方，说明选白炽灯合算，当照明时间超过2000小时时，y 1的图象在y 2的下方，说明选用节能灯合算.
说明 本题是一个通过建立一次函数模型，利用一次函数图象的性质去对经济问题决策的典型考题.
例2 (2006年湖北省十堰市中考题） 市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y （千克）与销售单价x
图2-3-2
（元）（x ≥30）存在如图2-3-2所示的一次函数关系.
⑴试求出y 与x 的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
分析与解答 ⑴设y= kx+b ，由图象可知，
⎩
⎨
⎧=+=+200.b 40k 400
b k 30， 解之，得⎩
⎨
⎧==1000.b -20k ，
∴y = -20x +1000 (30≤x ≤50) ⑵ P=(x -20)y =(x -20)(-20x+1000)
= -20x 2 +1400x -20000.
∵a = -20<0，∴P 有最大值.
当 x = -
)
20(21400
-⨯=35时，P 最大 =4500.
即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元.
说明 本例取材于让利销售的市场经济，要求理解题意，在较复杂的数量关系中建立一次函数和二次函数模型，并利用二次函数的性质求出最大利润和决定售价.这类问题在近年中考试卷中出现率极高，同学们在复习时要引起注意. 【提高训练】
1．(2006年江苏省宿迁市中考题）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？
2．(2006年湖北省武汉市中考题)某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品.生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：
煤的价格为400元/吨.生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完.设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.
⑴写出m与x之间的关系式；
⑵写出y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的范围)；
⑶若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润
是多少？
3．(2005年宁夏回族自治区灵武市中考题)某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元销售，那么一个星期可售出100件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减小，即当销售单价每提高1元，销售量相应减小10件.如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？
4．(2005年湖南省长沙市中考题)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元.在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价(元)之间存在着如图2-3-3所示的一次函数关系.⑴求y与x的函数关系式.⑵试写出该公司销售该种产品的年获利Z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支).当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值.⑶若公司希望该种产品一年销售的获利不低于40万元，借助⑵中函数图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
5．(2006年湖北省武汉市中考题)连接着汉口集家咀和汉阳南岸的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图2-3-5所示的平面直角坐标系.
⑴求抛物线的解析式；
⑵正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一
半？请说明理由.
图
2-3-4
答案:
1. 当0＜x ≤500或x ＝1500时，可任意选择甲、乙两商场；当500＜x ＜1500时，可选择乙商场；当x ＞1500时，可选择甲商场.
2. ⑴ m=
4
x
10300- ⑵y = -1900x+75000 ⑶∵4x+8⨯
4
x
10300-≤200，∴25≤x ≤30. ∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大，y 最大=-1900⨯25+75000=27500(元) 3. 设提高价为x 元，利润为y 元，则每件所获利润为(20+x -18)元，销售量为(100-10x)件 . 根据题意得y=(20+x -18)(100-10x)=-10(x -4)2+360.
∵-10<0，∴当x=4时，y 的最大值是360.这时，x+20=24，
所以当商店把销售单价提高24元时，一个星期内的获利最大，最大利润是360元 4. ⑴y=-20
1
x+8 ⑵Z=-
20
1
(x -100)2 +60，当x=100时，最大利润为60万元 ⑶销售单位定为80元 5. ⑴y=-
350
1x 2
+56 ⑵当x=0时，-
350
1x 2
+56=56，∴OC=56(米)， 设存在一根系杆的长度是OC 的一半，即这根系杆的长度是28米， 则28=-
350
1x 2
+56，解得x=±702. ∵相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC 在y 轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数，
∴x= 702与实际不符，
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半。