一、选择题
1．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( )
A．10% B．12%
C．25% D．40%
解析：利润300万元，纳税300·p%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1000×2%＝180(万元)，
纳税180·p%万元，
共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，
p%＝1
4＝25%.
答案：C
2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件
时的生产成本为C(x)＝1
2x
2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企
业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－1
2(x－18)
2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：B
3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提升1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )
A．100元B．110元
C．150元D．190元
解析：设售价提升x元，则依题意
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500.
故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元．
答案：D
4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )
A ．x ＝60t
B ．x ＝60t ＋50t
C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
60t (0≤t ≤2.5)150－5t (x ＞3.5) D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)
150－50(t －3.5)(3.5＜t ≤6.5)
解析：到达B 地需要15060
＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；
当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150；
当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．
答案：D
5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )
A ．y ＝100x
B ．y ＝50x 2－50x ＋100
C ．y ＝50×2x
D ．y ＝100log 2x ＋100
解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
答案：C
二、填空题
6．某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，
开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则
截取的矩形面积的最大值为________．
解析：依题意知：20－x x ＝y －824－y
，即x ＝54(24－y )， ∴阴影部分的面积
S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54
(－y 2＋24y )， ∴当y ＝12时，S 有最大值为180.
答案：180
7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有
3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，
即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，
则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115
(舍去)， 故1＋x %≥65
，解得x ≥20. 答案：20
三、解答题
8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)
. 其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解：(1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，
从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－12x 2＋300x －20 000(0≤x ≤400)60 000－100x (x ＞400)
. (2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12
(x －300)2＋25 000， ∴当x ＝300时，有最大值25 000；
当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，
f (x )＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
9．当前环境问题已成为世界注重的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减
少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小．现有以下数据：
①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米．
请根据以上数据回答问题：
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5 000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱？
解：(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W′元，
由题意可知，
W＝200×2.8t
12＝
140t
3(t≥0，t∈N
*)，
200×3t
16≤W′≤200×
3t
15，
即37.5t≤W′≤40t(t≥0，t∈N*)，
又140t
3>40t，即W>W′，所以使用液化气比使用汽油省钱．
(2)①设37.5t＋5 000＝140t
3，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N*，所以t＝546.
②设40t＋5 000＝140t
3，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]且t∈N*时，省出的钱能够等于改装设备花费的钱．
10．某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？
解：(1)证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，
∴EF＝FG＝GH＝HE.
∴△CFE为等腰直角三角形．
∴四边形EFGH是正方形．
(2)设CE＝x，则BE＝0.4－x，
每块地砖的费用为W，
制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，
W＝1
2x
2·3a＋
1
2×(0.4－x)×0.4×2a＋⎣
⎡0.16－1
2x
2－
⎦
⎤
1
2×0.4×(0.4－x)a
＝a(x2－0.2x＋0.24)
＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，
由a＞0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省．答：当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省．。