考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/62．设随机变量的概率密度⎩⎨⎧≤>=-101)(2x x Kx x f ，则K=（ B ）。

(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量ηξ,，若)()()(ηξξηE E E =，则（ B ）。

(A) )()()(ηξξηD D D = （B ）)()()(ηξηξD D D +=+ (C) ηξ,一定独立 （D ）ηξ,不独立5．设)4,5.1(~N ξ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<ξ<4}=（ A ）。

(A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=⋃)(B A P （ 0.9 ）。

2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。

3．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ 8/10 ）。

4．设D(ξ)=9, D(η)=16, 5.0=ξηρ，则D(ηξ+)=（ 13 ）。

*5．设),(~y 2σμN ，则~y nσμ-（ N(0,1) ）。

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式)4(0345.0)6(100210040100410035100510025)()()(31分分=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P2．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨⎧≤>=-.0,00,)(5x x Ae x f x(1)确定常数A (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).（2）①)3(1510)(05分==+=⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞-A dx Ae dx dx x x ϕ故A=5 。

②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞-⎰e dx e P x ξ （3分）③当x<0时,F(x)=0; （1分）当0≥x 时，xxxx e dx e dx dx x x F 50515)()(-∞-∞---=+==⎰⎰⎰ϕ （2分）故⎩⎨⎧<≥-=-00,,01)(5x x ex F x. （1分）3．设二维随机变量（ηξ,）的分布密度⎩⎨⎧<<<<=其它,010,,6),(2ξξηξηξf求关于ξ和关于η的边缘密度函数。

（3）⎰+∞∞-=分）2(),()(dy y x f x f x 分）（其它3010),(6622⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰x x x x x dy⎰+∞∞-=分）（2),()(dx y x f y f y 分）（其它3010),(66⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰y y y y y dx4．设连续型随即变量ξ的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ，求E(x),D(x)（4）⎰⎰-+=10212)2(dx x x dx x EX 1)18(31)14(31=---+=（4分）⎰⎰-+=1021232)2(dx x x dx x EX 67)116(41)18(3241=---+=（3分）61167)(22=-=-=EX EX DX （3分）四．证明题（本大题共2小题，总计10分）2．设),2,1(}{ =k X k 是独立随机变量序列，且⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++122122121121202~k k k k k k X ， 试证}{k X 服从大数定理。

(2))2(.),2,1(,121)2(21)2()()()2(,0212)211(021)2()(122122212212分分 ==+⨯-===+-⨯+⨯-=++++k X E X D X E k k k k k k k kk k k k由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。

（1分）考试科目：概率论与数理统计 考试时间：120分钟 试卷总分100分一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是＿＿A ＿＿A ．()()P A B P A += B ．()()P AB P A =Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 2. 设()2,,XN μσ那么当σ增大时，{}-P X μσ<= CA ．增大B ．减少C ．不变D ．增减不定3． 设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==⎡⎤⎣⎦分布且则＿A ＿Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。

用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”A B C ;2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 0.1 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 ()21523z f z -⎛⎫- ⎪⎝⎭=;4．已知()2~2,0.4,X N -则()23E X += 1.16三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。

随机的从一地区先后任取两份报名表。

求先取到一份报名表是女生的概率。

解.设B 为“取得的报名表为女生的”,i A 为“考生的报名表是第i 个地区的”,i=1,2,3 由全概率公式 2分3i 1()()(|)i i P B P A P B A ==∑ 3分131711=+31031535⨯+⨯⨯ 3分 2990=1分 即先取到一份报名表为女生的概率为2990=. 1分２．设随机变量X 的概率密度为()f x =Ax+10x 20,≤<⎧⎨⎩，其他，求① A 值； ②X 的分布函数()F x ；③{}1.5 2.5P X << (1)()()21221f x dx Ax dx A +∞-∞=+=+=⎰⎰，12A ∴=- 2分 (2)()()x F x f t dt -∞=⎰1分0,0101,0221,2x x dt t dt x x -∞<⎧⎪⎪⎛⎫=+-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎩⎰⎰ 3分 20,01,0241,2x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩ 1分(3){}()()1.5 2.5 2.5 1.50.0625P X F F <<=-= 3分３．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()3x 4y ke ,x 0,y 0;(,)0,f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它求：（1）常数A ；（2）()x y ,落在区域D 的概率，其中(){}D x,y ;0x 1,0<y 2.=<≤≤3.(34)340ke d d e d 112x y x y kx y k e dx y +∞+∞+∞+∞-+--===⎰⎰⎰⎰，12k ∴= 5分(){}{}()()12343800,01,0212110.9502xyP x y D P X Y edx edy ee ----∈=<≤<≤==--≈⎰⎰ 5分4 . 设足球队A 与B 比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A ，B 在每场比赛中获胜的概率均为12，试求平均需比赛几场才能分出胜负？4. 设X 为需要比赛的场数， 1分则{}148P X ==，{}154P X ==，{}5616P X ==，{}5716P X ==， 4分所以()11554567 5.8841616E X =⨯+⨯+⨯+⨯≈ 4分答：平均需比赛6场才能分出胜负 1分２．设{}n X 为相互独立的随机变量序列,{n 1P X ,n =={}n 2P X 01,n==-n 2,3,=证明{}n X 服从大数定律。

2．()(112010n E X n n n ⎛⎫=+⋅+⋅-= ⎪⎝⎭1分()()()(22222112012n n n D X E X E X n n n =+⎡⎤⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅+⋅- ⎪⎝⎭= 2,3,i = 1分令121,2,3,,n n i i Y X n n +===∑则()()20,,n n E Y D Y n== 2分0ε∀>，由切比雪夫不等式知(){}221n n P Y E Y n εε-<≥- 1分故有(){}n lim 1n n P Y E Y ε→∞-<→，即{}n X 服从大数定律。

1分1．对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿D ＿＿A ．若,AB 互不相容，则.A 与B 也互不相容B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立2. 假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿C ＿＿A ．()F x ＝()F x -；B ．()F x ＝()F x --；C ．()f x ＝()f x -；D ．()f x ＝()f x --； ３. 若()211~,X Nμσ，()222~,Y N μσ，那么(,)X Y 的联合分布为＿＿C ＿＿Ａ.二维正态，且0ρ=； Ｂ. 二维正态，且ρ不定； Ｃ. 未必是二维正态； Ｄ. 以上都不对 ．４. 设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则()()()D X Y D X D Y +=+是Ｘ和Ｙ的＿＿C ＿＿A . 不相关的充分条件，但不是必要条件；B .独立的必要条件，但不是充分条件；C . 不相关的充分必要条件；D . 独立充分必要条件． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1. 设A 、B 、C 、是三个随机事件。