2 . 若 约 束 条 件 中 有 非 线 性 约 束 : G ( X )0
或 Ceq(X)=0,
则 建 立 M文 件 nonlcon.m定 义 函 数 G(X)与 Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=...
17
3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格 式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
k
内点法的迭代步骤
(1) 给 定 允 许 误 差
0 ， 取 r1 0 , 0 1 ；
( 2) 求 出 约 束 集 合 D 的 一 个 内 点
( 3) 以
0
X
0
D ， 令k 1 ；
0
X
k 1
D 为 初 始 点 ， 求 解 min I X , rk ， 其 中
考虑问题：
设集合 D
0
min f X s .t . g X 0 i
i 1, 2 ,..., m
0
(1)
X | g i X 0 , i 1, 2 , , m ， D 是可行域中
所有严格内点的集合。
构造障碍函数 I X , r ： I X , r f X r ln g i X
11
近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X
和约束条件
giX
0 ( i 1,..., m);
h j X
0 ( j 1, , l )
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从
而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，
把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似． 每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。
j 1, , n
高 ，故 需 要 对 变 量 的 取 值 范 围 加 以 限 制 ，所 增 加 的 约 束 条 件 是 ：
xj x
k j

k j
求解该线性规划问题，得到最优
解X
k 1
；
( 4)
检验X
k 1
点 对 原 约 束 是 否 可 行 。 若X
k 1
对原约束可行，



X D
定义2
对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切 ，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的 X D 局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X *时，若 f X * f X ， 则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）． 定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 * 时，若 * ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点 X X f X f X （严格全局最优解）． 返回5
7
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X

i 1,2,..., m; j 1, 2 ,..., l . (1)
gi X 0 s .t . h j X 0
可设： T X , M
f X M
min 0 , g i X 2
i 1
m
M
h
j 1
l
X 2 j
(2)
将问题（ 1）转化为无约束问题：
X E
min T X , M
n

(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 D 时，满 X 足各 i X 0 , hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 D 时， g X
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
1 2
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1
1 x1 2 x 2
2 2
2、 输入命令：
0 x1 0 x2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 T 1 - 1 x1 2 x1 1、写成标准形式：min z ( x , x )
例1
0 X D 0
0
X D 的最优解，设为 X
r
*
k
X rk D ；
k
( 4) 检 验 是 否 满 足 足，停止迭代， 返 回 (3 ） ．
m

i 1
ln g i X
k
或r
m

1 giX
k
i 1

，满
X
X ； 否 则 取 rk 1 rk ， 令 k k 1 ，
数学建模与数学实验
非线性规划
后勤工程学院数学教研室
1
实验目的
1、直观了解非线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件求解优化问题。
实验内容
1、非线性规划的基本理论。
2、用数学软件求解非线性规划。 3、钢管订购及运输优化模型 4、实验作业。
2
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回3
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
i 1 m

或
I (X ,r) f (X ) r r 为障碍因子
m
1 gi X
i 1

其中称 r ln g i X
i 1
m

或 r
m
1 gi X
i 1

为障碍项，
X D
min I X , rk
0
这样问题（ 1）就转化为求一系列极

值问题：
得 X （ rk ）
10
( 2)
在点
X
k
处 ， 将 f X ， giX ,h j X 按 泰 勒 级 数 展 开 并
取一阶近似，得到近似线性规划问题：
min f X f X

k
f X X
k T k k T i
X
k

k
giX gi X hjX hj X

min T X , M
n
T (X k ,M k ) ；
i m ，使 g i X
3、若存在 i 1
，则取Mk>M(M
k
m
k
k 1
M , 10
)
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * 计算时也可将收敛性判别准则
gi X
3、运算结果为： x =0.6667 1.3333
MATLAB（youh1）
z = -8.2222
16
标准型为： min F(X) s.t AX<=b Ceq(X)=0
2、一般非线性规划
Aeq X beq
G ( X 0 )
VLB X
VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用 Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
14 返回
否则，令

k j
j 1, , n ， k = k + 1 ， 返 回 步 骤 ( 2 ) ．
1、二次规划
标准型为： Min Z= 1
2
T T
X HX+c X
s.t. AX<=b
Aeq X beq
V LB ≤ X ≤ V UB
用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. x=quadprog(H,C,A,b); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); [x,fval]=quaprog(...); [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 15 [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);