高等数学复习提纲同济大学下册HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高等数学复习提纲一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。

例题：一平面过点(1 0 1)且平行于向量a (2 1 1)和b (1 1 0) 试求这平面方程解 所求平面的法线向量可取为k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=?所求平面的方程为(x 1)(y 0)3(z 1)0 即xy 3z 402．空间直线及其方程。

例题：求过点(2 0 3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量 即k j i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=?所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即 16x 14y 11z 650例题：求过点(3 1 2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程解 所求平面的法线向量与直线12354zy x =+=-的方向向量s 1(5 2 1)垂直 因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上 所以所求平面的法线向量与向量s 2(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)也是垂直的 因此所求平面的法线向量可取为k j i kj i s s n 229824112521--=-=⨯=?所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即 8x 9y 22z 5903．旋转曲面。

例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 294. 多元复合函数求导，隐函数求导。

例题：求函数 xye z = 的全微分解 xdy e xdx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=例题：设zu 2ln v 而yx u = v 3x 2y 求x z ∂∂ yz ∂∂解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x -+-=?)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=? 例题：设ze x 2y 而x sin t yt 3 求dtdz解 dt dyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--? 例题：设sin ye x xy 20 求dxdy 解 令F (x y )sin ye x xy 2 则F x e x y 2 F y cos y 2xy xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=?例题：设x y y x arctan ln 22=+ 求dxdy解 令xy y x y x F arctan ln ),(22-+= 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=? 22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=? yx y x F F dx dyy x -+=-=?5.重积分（直角坐标，极坐标）。

例题：⎰⎰+Dd y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1}解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=? 例题：⎰⎰+Dd y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和( )的三角形闭区域解 积分区域可表示为D 0x 0yx 于是 +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=?例题：利用极坐标计算下列各题 (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2y 24所围成的闭区域解 在极坐标下D {( )|02 02} 所以)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ?(3)σd xyDarctan⎰⎰ 其中D 是由圆周x 2y 24 x 2y 21及直线y 0 yx 所围成的第一象限内的闭区域解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD 所以⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d ? 5．求曲顶柱体体积。

例题：求由曲面zx 22y 2及z 62x 2y 2所围成的立体的体积解 由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z 得x 2+2y 2=62x 2y 2 即x 2y 2=2 故立体在x O y面上的投影区域为x 2y 22 因为积分区域关于x 及y 轴均对称 并且被积函数关于x y 都是偶函数 所以 ⎰⎰---=220222)2(12x dy y x dx π6)2(8232=-=⎰dx x ?例题：计算以xOy 平面上圆域x 2y 2ax 围成的闭区域为底 而以曲面zx 2y 2为顶的曲顶柱体的体积解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D {(x y )|x 2y 2ax } 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-= 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y x V 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--?6 常数项级数的审敛法。

例题：判定下列级数的收敛性 (1))4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n解 因为145lim 1)4)(1(1lim 222=++=++∞→∞→n n n n n n n n 而级数∑∞=121n n 收敛故所给级数收敛(2) 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ解 因为πππππ==∞→∞→nnn n n n 22sin lim 212sin lim而级数∑∞=121n n收敛故所给级数收敛(1) 23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n nn 解 级数的一般项为nnn n u 23⋅= 因为123123lim 322)1(3lim lim 111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n nn n ? 所以级数发散(2)∑∞=123n n n解 因为131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n n n n n n n ?所以级数收敛(3)∑∞=⋅1!2n n n n n 解 因为12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n ? 所以级数收敛(3)∑∞=+112tan n n n π 解 因为121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n nn n n u u ππππ?所以级数收敛例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的 是绝对收敛还是 条件收敛？ (1) 4131211⋅⋅⋅+-+-解 这是一个交错级数∑∑∞=-∞=--=-11111)1()1(n n n n n n u 其中nu n 1=因为显然u n u n +1 并且0lim =∞→n n u 所以此级数是收敛的又因为∑∑∞=∞=-=-1111|)1(|n n n n nu 是p 1的p 级数 是发散的所以原级数是条件收敛的 (2)∑∞=---1113)1(n n n n解 ∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n 因为131331lim 1<=+-∞→n n n n n 所以级数∑∞=-113n nn 是收敛的 从而原级数收敛 并且绝对收敛 7．幂级数。

例题：求下列幂级数的收敛域)1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ? 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 22221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n 故收敛半径为R 1 因为当x 1时 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n 是收敛的 当x 1时 幂级数成为∑∞=+1211n n也是收敛的 所以收敛域为[1 1]解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n xu n nn因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n nn n =+⋅+=++∞→+∞→ 由比值审敛法 当x 21 即|x |1时 幂级数绝对收敛 当x 21 即|x |1时 幂级数发散 故收敛半径为R 1因为当x 1时 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n 是收敛的 当x 1时 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n 也是收敛的 所以收敛域为[1 1] 8．函数展开成幂级数。

例题：将下列函数展开成x 的幂级数 并求展开式成立的区间 (1)sin 2x解 因为x x 2cos 2121sin 2-=∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x x ( ) 所以 ∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n n n n n n n x n x x x ( )例题：将函数f (x )cos x 展开成)3(π+x 的幂级数解 3sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ 5 例题：将函数xx f 1)(=展开成(x 3)的幂级数解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311 即 ∑=<<--=nn n n x x x 0)60( )33()1(311 例题： 将函数231)(2++=x x x f 展开成(x 4)的幂级数解2111231)(2+-+=++=x x x x x f而 ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x 即 )17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x ? 即 )26( 2)4(2101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n因此∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n nn n x x x x x f)26( )4)(3121(11-<<-+-=∑∞=++x x n n n n ? 注意复习书上习题刘华。