4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元 各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或 柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。 将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元
求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件 。总装是在相邻单元节点进行，状态变量及其导数(可能的话)连续性 建立在节点处。
6)求解和结果解释。 联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是
单元节点处状态变量的近似值。对于计算结果的好坏，将通过与设计 准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
Li Lj Lm 1
1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标与直角坐标之间的关系
角坐标轮换规则为：
i j mi
1x
Ai
1 2
1
xj
1 xm
y
yj
1 2
( x
j
ym
y
j xm )
(y
j
ym
)x
( xm
x j ) y
ym
1 2 (ai bi x ci y)
Li
Ai A
1 2A
(ai
bi x ci y)
由于应变矩阵是常数矩阵，若 单元厚度h也是常数。
K e BTDBhA
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 3）单元刚度矩阵
K e BTDBhA
代入 应变矩阵式 平面应力问题的弹性矩阵
平面应力问题中常应变三角形单元的刚度矩阵为
Kii Kij Kim
Ke
K
ji
K jj
K
jm
Kmi Kmj Kmm
限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网格划分。 单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果
也越精确，但其计算量及误差也将会增大，因此求解域离散化 是有限元分析的核心技术之一。
3）确定状态变量及控制方法。 一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边
界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方 程化为等价的泛函形式。
2）单元应变和单元应力
S D Bi Bj Bm Si Sj Sm
平面应变问题，子矩阵：
bi
Si
E(1 ) 2(1 )(1 2) A
1
bi
3）单元刚度矩阵
1 2 2(1
)
ci
1 ci
ci
1 2 2(1
)
bi
由最小势能原理, 三角形单元的单元刚度矩阵为
K e BTDBd BTDBhdxdy
ε
1 2A
bi
0ci0 ci来自bibj 0 cj0 cj bj
bm 0 cm
0
cm
Bδe
bm
B Bi Bj Bm 元素都
是常量
Bi
1 2A
bi
0
0
ci
(i, j,m)
ci bi
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 2）单元应变和单元应力
ε
1 2A
bi
0
ci
0 ci bi
bj 0 cj
《有限元基本理论及应用》
平面问题的有限元分析
有限元分析实质是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且
按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设 的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
1）问题及求解域定义。 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
2）求解域离散化。 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有
)
y
1 2A
(ci
Li
cj
Li
cm
Lm
)
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——常应变三角形单元的位移场 常应变三角形单元的形函数取面积坐标
Ni Li , N j Lj , Nm Lm
形函数矩阵为：
N
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 cj bj
bm 0 cm
0
cm
Bδe
bm
代入
应力应变关系式
σ DBδe Sδe
应力矩阵 S D Bi Bj Bm Si Sj Sm
平面应力问题，子矩阵：
Si
E
2(1 2 ) A
bi
bi
1
2
ci
ci
ci
1
2
bi
(i, j, m)
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
1 x
cm y
同理
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
+ Li Lj Lm 1
1 1
x
xi
y yi
1 xj yj
1 xm
Li Lj
ym Lm
按求导 法可得：
x
1 2A
(bi
Li
bj
Li
bm
Lm
面积坐标的特点：
1.三角形内与节点i的对边j-m平行的直线上的诸点有相同的 Li
2.三角形3个角点的面积坐标是i(1,0,0)，j(0,1,0)，m(0,0,1)。 3.三角形三条边的边方程是：
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义 4. 三个面积坐标并不相互独立，3个面积坐标间必然满足
ai x j ym y j xm
bi y j ym
ci xm x j
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标与直角坐标之间的关系
面积坐标用直角坐标表示的矩阵表达式为
Li Lj
Lm
1 2A
ai
a
j
am
bi bj bm
ci cj