2019-2020学年浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．经过点()1,3A ，斜率为2的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．210x y ++=C ．210x y +-=D ．210x y -+=【答案】D【解析】根据直线的点斜式方程写出直线方程，再化成一般式方程即可. 【详解】由直线点斜式得32(1)y x -=-，化为一般式得210x y -+=. 故选：D 【点睛】本题考查了直线点斜式方程，属于基础题.2．椭圆22154x y +=的焦距为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程求出22,a b 的值，再利用,,a b c 之间的关系，求出c ，最后求出焦距即可. 【详解】因为25a =，24b =，得1c =，所以焦距为22c =. 故选：C 【点睛】本题考查了根据椭圆的标准方程求椭圆焦距问题，属于基础题.3．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是（ ） A ．m α⊂，n β⊂，//m nB ．m α⊥，n β⊥C ．m α⊂，n ⊂α，//m β，//n βD ．αγ⊥，βγ⊥【答案】B【解析】根据面面平行的判定定理和线面垂直的性质直接判断即可.【详解】A ：两个平面相交时，两个平面存在互相平行的直线，故本选项不正确；B ：垂直于同一直线的两平面平行，故本选项正确；C ：根据面面平行的判定定理可知中：只有当直线m ，n 相交时，才能得到面面平行，故本选项不正确；D ：两个平面可以相交，故本选项不正确. 故选：B 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理的应用，属于基础题.4．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离【答案】C【解析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d ，然后求出R ﹣r 和R+r 的值，判断d 与R ﹣r 及R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系． 【详解】把圆x 2+y 2﹣2x ＝0与圆x 2+y 2+4y ＝0分别化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2＝1，x 2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R ＝2和r ＝1，∵圆心之间的距离d ==R+r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜d ＜R+r ，∴两圆的位置关系是相交． 故选：C ． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.5．已知a ，b 是异面直线，P 是a ，b 外的一点，则下列结论中正确的是（ ） A ．过P 有且只有一条直线与a ，b 都垂直 B ．过P 有且只有一条直线与a ，b 都平行C ．过P 有且只有一个平面与a ，b 都垂直D ．过P 有且只有一个平面与a ，b 都平行 【答案】A【解析】根据垂线的唯一性、平行公理，线面垂直的性质、线面平行性质进行逐一判断即可.【详解】A：作a的平行线c与b共面，若过P的直线与a，b都垂直，则该直线垂直于b，c，所以垂直于b，c所在平面因为过平面外一点只可作一条直线与这个平面垂直，所以过P有且只有一条直线与a，b都垂直.故本结论正确；.B：如果过P的直线都与a，b都平行，根据平行公理，a，b平行这与a，b是异面直线矛盾，故本结论错误；C：如果a，b与过过P的平面都垂直，那么a，b平行这与a，b是异面直线矛盾，故本结论错误；D：若过P与a或b确定的平面，就不存在与a，b都平行，故本结论错误；故选：A【点睛】本题考查了垂线的性质，考查了平行公理，考查了异面直线的性质，考查了线面垂直的性质，考查了推理论证能力.6．如图，中，，，若以，为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．【详解】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cosB=﹣，∴OC 2=OB 2+BC 2﹣2OB•BC•cosB=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7， ∴OC=，则cos ∠COB==， 可得sin ∠COB==， tan ∠COB==，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣=1（a ，b ＞0）， 渐近线方程为y=±x ， 可得=， 可得e=====．故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4- B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[] D ．2[,0]3-【答案】A【解析】试题分析：圆心为()3,2，半径为2，圆心到直线的距离为2311k d k +=+22231421k MN k ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭2312311kMNk+≥∴≤+Q，解不等式得k的取值范围3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【考点】直线与圆相交的弦长问题8．正四面体ABCD中，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是( )A．0B．6πC．3πD．2π【答案】D【解析】将问题抽象为如下几何模型，平面α的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，则可得到答案【详解】考虑相对运动，让四面体ABCD保持静止，平面α绕着CD旋转，故其垂线也绕着CD 旋转，如下图所示,取AD的中点F，连接EF，则//EF CD则也可等价于平面α绕着EF旋转，在BEFV中，易得如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面α的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，显然则设BE与平面α所成的角为θ，则可得考虑四个选项，只有选D.【点睛】本题考查最小角定理的应用，线面角的最大值即为BE与CD所成的角.，属中档题. 9．已知(1,63,3()0,5A B，作直线l，使得点,A B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是（）A ．1d ≥B ．01d <<C ．01d <≤D ．02d <<【答案】B【解析】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和2d 的大小关系，求得d 的取值范围. 【详解】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，也即,A B 到四条切线的距离都等于d ，符合题目的要求.圆心距()22132AB =+=，由于两个圆外离，故AB d d >+，即022,01d d <<<<.故选：B. 【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.10．（2018届浙江省温州市一模）如图，正四面体ABCD 中，P Q R 、、在棱AB AD AC 、、上，且12AP CR AQ QD PB RA ===，，分别记二面角A PQ R A PR Q A QR P ------，，的平面角为αβγ、、，在（ ）A ．βγα>>B ．γβα>>C ．αγβ>>D ．αβγ>>【答案】D【解析】ABCD Q 是正四面体，P Q R 、、在棱AB AD AC 、、上，且12AP CR AQ QD PB RA ===，，可得γ为钝角，,αβ为锐角，设P ACD 到的距离为1h P QR ，到的距离为1d Q ABC ，到的距离为2h Q PR ，到的距离为2d ，设正四面体的高为h ,可得121211=,,32h h h h h h =<，由余弦定理可得QR PR <，由三角形面积相等可得到12d d >，所以可以推出1212,h h sin sin d d γβ=<=所以γβαβγ∴>，故选D. 【方法点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.二、填空题11．若圆22210x y ax y +++-=的圆心在直线y x =上，则a 的值是____________，半径为___________________.【答案】12 【解析】对圆的方程进行配方化成标准方程形式，把圆心的坐标代入直线方程中，求出a 的值，最后求出半径的大小.【详解】圆化为标准方程为22215()24x a y a ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，圆心坐标为：1(,)2a --，由题意可知：12a -=-，所以12a =，r ==故答案为：12【点睛】本题考查了通过圆的一般求圆心和半径，考查了数学运算能力.12．若直线1:60l x my ++=与2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为_____________，它们之间的距离为________________.【答案】1-3【解析】根据两平行直线系数之间的关系求出m 的值，根据平行线间距离公式直接求出两平行线间距离即可. 【详解】由题知，13(2)m m ⨯=-且126(2)m m ⋅≠-，解得1m =-，则1:60l x y -+=，22:03l x y -+=，则两平行线间距离为：2682332d -==. 故答案为：1-；823【点睛】本题考查了已知两直线平行求参数问题，考查了平行线间距离公式，考查了数学运算能力.13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________，外接球的表面积为_____________.【答案】24 41π【解析】根据根据三视图还原该几何体，直接根据三棱柱的体积公式求出体积，运用割补法求出外接球的表面积. 【详解】根据三视图还原该几何体，直观图如图所示的直三棱柱，344242V Sh ⨯==⨯=把该几何体补成一个长方体， 可知其外接球的直径为这个长方体的体对角线，所以，2224344122r ++==，所以2441S r ππ==外接球故答案为：24;41π 【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积以及该几何体外接球的表面积，考查了直观想象能力.14．已知双曲线22:1x C y m -=与椭圆22195y x +=共焦点，则m 的值为_______________，设F 为双曲线C 的一个焦点，P 是C 上任意一点，则PF 的取值范围是_______________. 【答案】3 [)1,+∞【解析】第一空：根据双曲线的半焦距的平方等于椭圆的半焦距的平方，解方程即可求出m 的值；第二空：设(),P x y ，不妨设()0,2F ，求出PF 的表达式，利用双曲线的范围求出PF 的取值范围. 【详解】解析、21954c m =+=-=，所以3m =； 设(),P x y ，不妨设()0,2F ，所以2222||(2)33(2)21PF x y y y y =+-=-+-=-因为1y ≥或1y ≤-，所以1PF ≥，故填、3；[)1,+∞ 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的半焦距公式，考查了双曲线的范围，考查了数学运算能力. 15．异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.【答案】,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，根据题意可以求出θ的取值范围. 【详解】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，异面直线a ，b 所成角为3π，可知3a Ob π''∠=，所以16l Ob π'∠=，23l Oa π'∠=所以在1l 方向，要使l 有两条，则有：6πθ>，在2l 方向，要使l 不存在，则有3πθ<，综上所述，63ππθ<<.故答案为：,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE 的长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值； 解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值. 【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =，所以12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=，所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当134t=时即213x=，223y=，()max18AEFS∆=，此时623tan243BCBPCPB∠===，故填22.解法2.设BPCθ∠=，则tan2EFPFθ==，所以2tanEFθ=.又2sinBCθ=，2cosPBθ=，所以22cos1ABθ=-，所以22cos12cosPA ABAEPBθθ⋅-==所以22221122cos112cos1tan tan2224cos2cosAEFS EF AEθθθθθθ∆--=⋅⋅=⋅⋅=⋅()2222 22221cos sin11tan1tan1 tan tan1tan4cos4428θθθθθθθθ-+-=⋅=-≤⋅=当且仅当22tan1tanθθ=-即2tan2θ=时，取等号.故答案为：22【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.17．已知椭圆22:14xC y+=上的三点,,A B C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是ABC∆的重心，且ABM∆与CMO∆的面积之比为32，则直线BC的斜率为__________.【答案】36-【解析】设出直线BC 的方程,将其代入到椭圆C 的方程,根据韦达定理,三角形的重心坐标公式,三角形的面积比,可求得点A 的坐标,再将A 的坐标代入椭圆方程即可得到直线BC 的斜率.【详解】 如图所示:设1122(,),(,)B x y C x y ,33(0,),(,)M m A x y ,直线BC 的方程为y kx m =+,因为原点O 是三角形ABC 的重心,所以△BMA 与△CMO 的高之比为3,又△BMA 与△CMO 的面积之比为32,则2BM MC =,即2BM MC =u u u u r u u u u r ,所以1220x x +=,①联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩,消去y 并整理得222(41)8440k x mkx m +++-=, 所以122814km x x k -+=+,21224414m x x k-=+,② 由①②整理得22223614m k m k =-+,③ 因为原点O 是△ABC 的重心,所以31228()14km x x x k =-+=+,3121222()[()2]14my y y k x x m k -=-+=-++=+, 因为223344x y +=,所以222282()4()41414km m k k -+=++, 化简得22144k m +=,④ 由③④可得2112k =,因为k 0<,所以3k =. 故答案为:3-【点睛】本题考查了直线与椭圆相交的问题,三角形的重心坐标公式,韦达定理,运算求解能力,根据已知条件求出点A 的坐标后,再代入椭圆方程是解题关键,本题属于中档题.三、解答题18．已知0x >，0y >，且2520x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求11x y+的最小值.【答案】（1）10（2）720+ 【解析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值； （2）对11x y +变形为：11111(25)20x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运用基本不等式求解即可. 【详解】 解析、（1）0x Q >，0y >，25x y ∴+≥（当且仅当25x y =时取等号，即当5,2x y ==时）10xy ∴≤，因此xy 的最大值为10；（2）11111521(25)(7)2020y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⋅=++⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，11720x y +∴+≥11x y ∴+=时取到. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点.（1）求证：//BG 平面PDE ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，当F 为PC 的中点时，能使平面DEF ⊥平面ABCD【解析】（1）利用已知可以判定四边形DGEC 是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到线线平行，利用线面平行的判定定理证明出//BG 平面PDE ；（2）根据PAD 为正三角形可以得到AD PG ⊥，再根据ABD ∆是等边三角形得到AD BG ⊥，这样根据线面垂直的判定定理可以证明AD ⊥平面PGB ，再利用线面垂直的性质定理可以证明出AD PB ⊥；（3）可以猜想F 为PC 的中点时.根据已知侧面PAD 垂直于底面ABCD ，可以通过面面垂直的性质定理可以得到PG ⊥平面ABCD .这样利用中位线可以证明出OF ⊥平面ABCD ，这样证明出猜想是正确的.【详解】（1）由已知，//DG BE ，DG BE =所以四边形DGEC 是平行四边形.//BG DE ∴. 又BG ⊄Q 平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，//BG ∴平面PDE .（2）连接PG .PA PD =Q ，AD PG ∴⊥.ABD ∆Q 是等边三角形，AD BG ∴⊥ 又PG BG G =Q I ，AD ∴⊥平面PGB .AD PB ∴⊥.（3）当F 为PC 的中点时，能使平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下、Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PG AD ⊥，PG ⊂平面PAD ，PG ∴⊥平面ABCD .连结CG 交DE 于O .则O 是CG 的中点，//OF PG ∴.OF ∴⊥平面ABCD .又OF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了数学探究能力，考查了推理论证能力.20．如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点()0,2且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1:2，直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）求直线OM 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）22(4)(2)16x y ++-=（2）304k ≤≤或43k ≤- 【解析】（1）依题意可设圆心(),2C r -，根据圆的性质可以得出120PCQ ∠=︒，进而可以求出圆的标准方程； （2）解法1.依题意知，只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率，设其直线方程为y tx =()0t >，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，可以求出t 的取值范围，根据点M 在劣弧PQ 上，点N 在劣弧PQ 上，求出直线OM 的斜率，进而求出直线OM 的斜率的取值范围，在讨论线OM 的斜率为零时，是否满足，最后确定直线OM 的斜率k 的取值范围；解法2.当0k ≠时，直线OM 的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式，求出斜率k 的取值范围，再以1k-代k 求出斜率k 的取值范围，接着讨论0k =时，是否满足条件，最后确定斜率k 的取值范围. 【详解】（1）依题意可设圆心(),2C r -.设圆C 与x 轴交于点PQ ，因为圆C 被x 轴分成的两段圆弧之比为1:2，所以120PCQ ∠=︒.于是4r =，圆心()4,2C -. 所以圆C 的方程为22(4)(2)16x y ++-=. （2）解法1.依题意知，只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率，设其直线方程为y tx =()0t >， 此时有2241t <≤+，解得304t <≤.若点M 在劣弧PQ 上，则直线OM 的斜率k t =，于是304k <≤; 若点N 在劣弧PQ 上，则直线OM 的斜率1k t =-，于是43k ≤-.又当0k =时，点N 为()0,2，也满足条件综上所述，所求的直线OM 的斜率k 的取值范围为304k ≤≤或43k ≤-解法2.当0k ≠时，直线OM 的方程为y kx =241k ≤+，解得34k ≤.以1k -代k 得，134k -≤，解得43k ≤-或0k >.当0k =时，也满足题意.综上所述，k 的取值范围是304k ≤≤或43k ≤- 【点睛】本题考查了圆的切线性质，考查了直线与圆的位置关系，考查了有斜率的两直线垂直时斜率的关系，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AP ⊥，AB ∥CD ，且PB BC ==6BD =,222CD AB ==，120PAD ∠=o .（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直进行论证，而线面垂直证明，往往需要多次利用线线垂直与线面垂直的转化，而线线垂直，有时可利用平几条件进行寻找与论证，如本题取CD 中点E ，利用平几知识得到四边形ABED 是矩形，从而得到CD AD ⊥，而易得CD AP ⊥，因此CD PAD ⊥平面，进而有平面PAD ⊥平面PCD ；（2）利用空间向量求线面角，首先建立空间直角坐标系：以A 为原点，AB 为x 轴,AD 为y 轴,建立空间直角坐标角系，设出各点坐标，利用方程组解出面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结论 试题解析：解：证明：（1）,BC BD E =Q 为CD 中点,,,2BE CD AB CD CD AB ∴⊥∴=Q P ,AB DE ∴P ,且,AB DE =∴四边形ABED 是矩形,,,,BE AD BE AD AB AD AB PA ∴=⊥⊥P Q ,又,PA AD A AB ⋂=∴⊥平面,PAD CD PD ∴⊥,且CD AD ⊥,Q 在平面PCD中,,,,EF PD CD EF EF BE E EF ∴⊥⋂=∴⊂P Q 平面,BEF BE ⊂平面BEF ,又,CD BE CD ⊥∴⊥平面,BEF CD ⊂Q 平面PCD ,∴平面BEF ⊥平面PCD.（2）以A 为原点，AB 为x 轴,AD 为y 轴,建立空间直角坐标角系，6,222,120PB BC BD CD AB PAD =====∠=︒Q,则()()()()0,1,3,0,2,0,2,0,0,22,2,0,P D BC -()()()0,3,3,2,1,3,2,2,0PD BP BC =-=--=u u u r u u u ru u u r设平面PBC 的法向量(),,n x y z r=,则220{230n BC x y n BP x y z ⋅=+=⋅=-+=u u ur r u u u rr ,取2x =,得32,1,n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭r , 设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ,10sin cos ,510123PD nPD n PD nθ⋅====⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ,∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为105.【考点】面面垂直判定定理，利用空间向量求线面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22 22x ya b+＝1(a>b>0)的离心率为3，且过点1(3,)2，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，P A交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求△PCD面积的最大值．【答案】(1)24x＋y2＝1；2－1【解析】（1）由离心率3ca=，再把点1(3,)2坐标代入2222x ya b+＝1，结合222a b c=+可求得,a b，得椭圆标准方程；（2）设直线AP方程为1(2)(0)2y k x k=+-<<，可求得,P C的坐标，由,,P D B共线求得D点坐标，这样可求得PCD PAD CADS S S∆∆∆=-，令12t k=-换元后用基本不等式求得最大值．【详解】(1) 由题意得：22222311432a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得a2＝4，b2＝1，故椭圆C的标准方程为：24x＋y2＝1.第 21 页 共 21 页 (2) 由题意设l AP ：y ＝k (x ＋2)，－12<k <0，所以C (0，2k )， 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝2216414k k -+， 由x A ＝－2得x P ＝222814k k -+，故y P ＝k (x P ＋2)＝2414k k +， 所以P 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设D (x 0，0)，因B (0，1)，P ，B ，D 三点共，所以k BD ＝k PB ，故01x -＝22241142814k k k k -+-+， 解得x 0＝2(12)12k k +-，得D 2(12),012k k +⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以S △PCD ＝S P AD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C | ＝212(12)42221214k k k k k ++--+＝24|(12)|14k k k++， 因为－12<k <0，所以S △PCD ＝228414k k k--+＝－2＋2×21214k k -+， 令t ＝1－2k ，1<t <2，所以2k ＝1－t ，所以g (t )＝－2＋221(1)t t +-＝－2＋2222t t t -+ ＝－2＋222t t+-≤－2－1， 当且仅当t时取等号，此时k＝12，所以△PCD－1. 【点睛】本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．本题直线AP 与椭圆相交的两点中一点A 已知，因此可设出直线方程求出另一点坐标，从而可求出其他点的坐标，并求得三角形面积．本题对学生的运算求解能力要求较高，属于难题．。