作业1 质点运动学知识点一、位移、速度、加速度1、位矢：r xi yj zk =++位移：21r r r xi yj zk∆=-=∆+∆+∆平均速度：r v t x y zi j kt t t ∆∆∆∆==++∆∆∆∆（瞬时）速度：d d d d d d d d r x y z v i j k t t t t ==++ （瞬时）加速度：22222222d d d d d d d d dv r x y za i j kdt t t t t ===++2、路程s ：物体通过的实际距离。

平均速率：s v t ∆=∆（瞬时）速率：d dsv t =速度的大小等于速率问题1、如何由r 求v ，如何由v 求a 。

利用求导drv dt =，dv a dt =。

问题2、如何由a 求v ，如何由v 求r 。

若()a a t =，利用00()()v t v dva t dv a t dtdt =⇒=⎰⎰若()a a v =，利用00()()v t v dvdv a v dtdt a v =⇒=⎰⎰若()a a x =，利用 ()()()dv dv dx dva x a x v a x dt dx dt dx =⇒=⇒=00()v t v vdv a x dx⇒=⎰⎰问题3、如何由r 求位移和路程。

位移：21r r r xi yj zk∆=-=∆+∆+∆路程：1、d 0d rt =，求得速度为零的时间1t ，然后求出10t -的路程1s 和1t t -的路程2s ［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是(A) 匀加速运动．(B) 匀减速运动．(C) 变加速运动． (D) 变减速运动．(E) 匀速直线运动．【解答】如图建坐标系，设船离岸边x 米，222l h x =+，22dl dxlxdt dt=， 22dx l dl x h dl dt x dtx dt +==，0dlv dt=-，220dx h xv i v i dt x+==-2203v h dv dv dxa i dt dx dt x==⋅=-可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。

［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为(A) 5m ． (B) 2m ．(C) 0． (D) -2 m ．(E)-5 m. 【解答】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和。

4.50(1 2.5)22(21)122()sx vdt m ==+⨯÷-+⨯÷=⎰［C ］3、[自测提高6]某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是(A) 0221v v +=kt (B) 0221v v +-=kt (C)02121v v +=kt (D) 02121v v +-=kt 【解答】t k t 2d /d v v -=，分离变量并积分，020v tv dv ktdt v =-⎰⎰，得02v 12v 1+=kt4、[基础训练12 ]一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m ．【解答】（1）x = 6 t －t 2 (SI)，位移大小()24064408 ()r x x m ∆=-=⨯--=；（2）62x dxv t dt==-，可见，t<3s 时，x v >0；t=3s 时，x v =0；而t>3s 时，x v <0；所以，路程=()()()3034()909810 ()x x x x m -+-=-+-=5、[基础训练13 ]在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为303C v v t =+，运动学方程为400+12C x x v t t =+。

【解答】vxoxlh（1）2dv a Ct dt ==，02v tv dv Ct dt =⎰⎰，得：303C v v t =+.（2）303C dx v v t dt =+=，03003x tx C dx v t dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，得：400+12C x x v t t =+. 6、[自测提高11]一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是4π/3=4.19（m ），这段时间内的平均速度大小为3)=4.1310(/) m s π-⨯，方向是__与x 轴正方向逆时针成600．【解答】24S 2R (m);33ππ=⨯=路程 0r 2cos30v m /s S t v∆⨯===∆平均速度大小）；方向如图。

7、[基础训练16 ]有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2– 2 t 3 (SI) ．试求：(1) 第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒内的路程． 【解答】（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;∴21212 2.50.5(/)21x x v i i i m s t t --===--- （2）,)69(2i t t i dtdx v-==)/(6)4629(22s m i i v s t -=⨯-⨯==∴时， （3）令0)69(2=-=i t t v ， 得：' 1.5t s =.此时x ’=3.375m;∴第二秒内的路程s=(x ’-x 1)+(x ’-x 2)=（3.375-2.5）+(3.375-2)=2.25m 知识点二、圆周运动（曲线运动）角速度：d d t θω=角加速度：d d t ωβ=线速度t t t d d d d s r v e e r e t t θω=== 加速度：2n d d t t n v v a a a e e t R =+=+2d ()d t nv v e e t ρ+问题1、如何由θ求ω，通过求导d d t θω=问题2、如何由β求ω，通过积分00d d d d ωt ωωωtt ββ=⇒=⎰⎰v［D ］1、[基础训练4] 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1)a t = d /d v ，(2)v =t r d /d ， (3)d d /t =s v ，(4)t a t =d /d v．(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的．(C)只有(2)是对的．(D) 只有(3)是对的． 【解答】根据定义式d d t =s v ，d d t a t=v，d d a a t ==v 即可判断。

2、[基础训练10 ] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°，则物体在A 点的切向加速度a t=-0.5g ，轨道的曲率半径23v g.（重力加速度为g ）【解答】如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得22sin 300.5, cos 30 cos 30t n v v a g g a g g ρρ=-=-==∴=3、[自测提高9 ]一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律为2126 (SI)t t β=-，则质点的角速度ω=3243 (/) t t rad s -；加速度切向分量a t =22126 (/) t t m s -。

【解答】（1）2126d t t dt ωβ=-=，()200126td t t dt ωω=-⎰⎰，3243 (/)t t rad s ω=-；（2）22126 (/)t a R t t m s β==-；4、[基础训练19 ]质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角ϕ保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。

【解答】,n ta tg a ϕ= 将t dva dt =，2n v a R =代入，得2dv v dt Rtg ϕ=， 分离变量并积分：00200011, vtv v Rtg dv dt tv v Rtg v v Rtg Rtg v t ϕϕϕϕ=-+=∴=-⎰⎰ 5、[自测提高15 ]质点按照212s bt ct =-的规律沿半径为R 的圆周运动，其中s 是质点运动的路程，b 、c 是常量，并且b 2>cR 。

问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？ 【解答】212s bt ct =-，速率dsv b ct dt==-，切向加速度大小t dv a c c dt ==-=，法向加速度大小()22n b ct v a R R-==；当切向加速度与法向加速度大小相等时：()2b ctc R-=，即b ct -=得1b t c=；2b t c=。

知识点三、相对运动，参考系's 相对于参考系s 做匀速直线运动，速度为s s '。

位移变换关系：s s ps ps r r r ''+=速度变换关系：s s ps ps ''+= 加速度的变换关系：'ps ps a a =［C ］1、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是(A) 南偏西16.3°；(B) 北偏东16.3°；(C)向正南或向正北； (D) 西偏北16.3°； (E) 东偏南16.3°． 【解答】根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式=+v v v →→→机地机空气空气地，可以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。

=200km/h, 56/,km h v v v →→→=机空气空气地机地,根据余弦定理，222200=56192256192cos θ+-⨯⨯，解得cos =0θ，所以=2πθ±.［B ］2、[自测提高7]在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为(A) 2i ＋2j ． (B) -2i ＋2j ．(C)－2i －2j ．(D) 2i －2j． 【解答】B A 对v=B 对v 地+A 对v 地 =B 对v 地-A 对v 地 =2222 (/)j i i j m s -=-+.3、[自测提高17 ] 一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率=0v m/s ．试问：(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？ 【解答】(1) 根据伽利略速度变换式对对对v v v =+球地球梯梯地，可得球相对地面的初速度：方向向上，大小为2010对v =+=球地30 m/s 。