几何最值问题1.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一只蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）A ．3B2+CD ．4答案：C解析：将正方体展开，连接AB ，根据两点之间，线段最短，可知AB 就是最短路径；过点A 做AM 垂直于正方形的边长，垂足是点M ，根据正方形的性质和勾股定理知：AB ===2.如图，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬到1D 点，蚂蚁爬行的最短距离是( )AB ．3CD ．2+答案：C解析：将正方体展开如图所示，连接1D M ，根据两点之间，线段最短，知1D M 就是最短路径；在1Rt D DM ∆中，13,2DM DD ==，故：1113D M DM DD =+=3.如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30︒角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．40cm答案：B解析：将圆柱延点A 处展开如下图，根据两点之间，线段最短，可知AB 是要求的最短路径，根据30︒角直角三角形的性质得：20AB cm =4.已知如图，直角梯形ABCD 中，AD BC P ，AB BC ⊥，2AD =，5BC DC ==，点P 在BC 上移动，则当PA PD +取最小值时，APD ∆中边AP 上的高为 ．CBA ．8B ．10C ．D 答案：D解析：过点D 作DMBC ⊥于点M ，作点A 关于点B 的对称点'A ，连接'A D 交BC于点P ；∵AD BC P ，AB BC ⊥∴四边形ABMD 是矩形∴2,AD BM AB DM ===∴在Rt CDM ∆中，3,5CM CD ==∴由勾股定理知：4AB DM ===在'Rt AA D ∆中，'2,8AD AA ==，∴由勾股定理得：'A D ==∵'A B DM =∴'A BP DMP ∆∆≌∴'A P DP =∵'A P AP =故AP =在APD ∆中，1122AP DN AD DM =g g∴AD DM DN AP ==g5.如图，在ABC ∆中，15AB =，12AC =，9BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB CA 、分别相交于点E F 、，则线段EF 长度的最小值是（ ）A ．125B ．365C ．152D ．8答案：B解析：取EF 的中点O ,取圆与直线AB 的切点为M ，连接OC OM 、∵15AB =，12AC=，9BC = ∴222BC AC AB +=由勾股定理知，ABC ∆是直角三角形在EFC ∆中，O 是EF 的中点， ∴12OC EF = 又∵OCOM = ∴EF OC OM =+∴当点C O M 、、三点共线且CM 垂直于AB 时，EF 最小 ∴365AC BC EF CM AB ===g6.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3D 答案：A解析：∵四边形ABCD 是正方形∴点D 关于直线AC 的对称点是点B∴PD PE PB PE +=+根据两点之间，线段最短，当B P E 、、三点共线时PD PE +最小，等于BE ∵ABE ∆是等边三角形∴BE AB ==7.如图，在锐角ABC △中，4542BAC AB ∠==°，，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________．答案：4解析：过点B 作BG AC ⊥于点G∵AD 是BAC ∠的角平分线∴点N 关于AD 的对称点'N 正好落在AC 上，连接'MN∴'BM MN BM MN +=+根据点到直线的距离，垂线段最短，知BM MN +的最小值就是BG∴422BG AB ==⨯=8.已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ．A ．1)2a +B ．12a -C ．12a + D ．2a答案：C解析：取AB 的中点P ，连接OP 、PC在Rt AOB ∆中，1122OP AB a ==，22PC AC a == 根据三角形三边性质，OC OP PC <+∴当OC OP PC =+（此时点O P C 、、三点共线）时，OC 最大∴12OC a +=9． 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（33，），点C 的坐标为（102，），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA PC ＋的最小值为（ ）．A ．2B ．2C ．32+D ．答案：B解析：如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN OA ⊥于N ，则此时PA PC ＋的值最小．∵DP PA = ，∴PA PC PD PC CD ==＋＋．∵(3B ，∴AB =3OA = ，60B ∠=︒．由勾股定理得：OB = 由三角形面积公式得：1122OA AB OB AM ⨯⨯=⨯⨯，即11322AM ⨯⨯=⨯ ∴32AM =．∴3232AD =⨯=． ∵90AMB ∠=︒ ，60B ∠=︒ ，∴30BAM ∠=︒ ，∵90BAO ∠=︒ ，∴60OAM ∠=︒ ．∵DN OA ⊥ ，∴30NDA ∠=︒ ，∴1322AN AD =⨯=．由勾股定理得：2DN ==．∵1(0)2C ，，∴133122CN =--=．在Rt DNC V 中，由勾股定理得：2DC==．即PA PC ＋的最小值是2． 所以应选B ．10.已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM PN +的最小值=______．答案：5解析：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP NP +的值最小，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD QBP MBP ⊥∠=∠，，即Q 在AB 上，∵MQ BD ⊥，∴AC MQ ∥，∵M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ CD ∥，BQ CN =，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ BC =，∵四边形ABCD 是菱形，∴3CO AC == ，4BO BD == ，在Rt BOC V 中，由勾股定理得：5BC=， 即5NQ =，∴5MP NP QP NP QN +=+==， 故答案为：5．11.（1）观察发现如图（1）：若点A 、B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP BP +的值最小，做法如下：作点B 关于直线m 的对称点B '，连接AB '，与直线m 的交点就是所求的点P ，线段AB '的长度即为AP BP +的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP PE + 的值最小，做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP PE + 的最小值是多少？（2）实践运用如图（3）：已知O e 的直径CD 为2，)AC 的度数为60︒，点B 是)AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP AP + 的值最小，则BP AP +的值最小，则BP AP +的最小值是多少？（3）拓展延伸如图（4）：点P 是四边形ABCD 内一点，60ABC ∠=︒，2BP =，分别在边AB 、BC 上作出点M ，点N ，求PMN ∆周长的最小值．解析：（1）观察发现如图（2），CE 的长为BP PE + 的最小值，∵在等边三角形ABC 中，2AB = ，点E 是AB 的中点∴CE AB ⊥ ，301BCE BCA BE ∠=∠=︒=， ，∴CE ==（2）实践运用如图（3），过B 点作弦BE CD ⊥ ，连结AE 交CD 于P 点，连结OB 、OE 、OA 、PB ，∵BE CD ⊥，∴CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称，∵)AC 的度数为60︒ ，点B 是)AC 的中点，∴3060BOCAOC ∠=︒∠=︒， ， ∴30EOC∠=︒ ， ∴603090AOE ∠=︒+︒=︒ ，∵1OA OE== ，∴AE ==+的最小值．∵AE的长就是BP AP（3）拓展延伸，如图（4）．AE=，点Q为12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且3△周长的最小值为________．对角线AC上的动点，则BEQ答案：6解析：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE 的长即为BQ QE +的最小值，∵5DE BQ QE =+===,∴BEQ △周长的最小值516DE BE=+=+=．故答案为：6．13.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水.经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）.两村的坐标分别为(23)(127)A B ，，，. (1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管道最短？(2)水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？答案：（1）作点B 关于x 轴的对成点E ，连接AE ，则点E 为12,7（-）.设直线AE 的函数关系式为y kx b =+，则2k b=312k b=7 -⎧⎨-⎩，解得k=1b=5⎧⎨⎩. ∴当0BC =时，5=.所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短.（2）作线段AB 的垂直平分线GF ，交AB 于点F ，交23轴于点G ，设点G 的坐标为(230)，.在Rt AGD V 中，2222232)AGAD DG ==++-在Rt BCG V 中， 222227(12BG BC GC ==-＋＋∵AG BG =，∴2222327)(21=--＋＋，解得9x =.所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等.14.如图，已知直线a b ∥，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB =a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN a ⊥且AM MN NB ++的长度和最短，则此时AM NB +=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B解析：作点A 关于直线a 的对称点A ' ，连接A B ' 交直线b 与点N ，过点N 作NM ⊥ 直线a ，连接AM ，∵A 到直线a 的距离为2 ，a 与b 之间的距离为4 ，∴4AA MN '== ，∴四边形AA NM ' 是平行四边形，∴AM NB A N NB A B +='+=' ，过点B 作BE AA ⊥' ，交AA ' 于点E ，易得2439AE =++= ，AB =235A E '=+= ，在Rt AEB V 中，BE==在Rt A EB '△ 中，8A B '== ．故选B ． 15.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD 交AB 于点D ；打开后，过点D 任意折叠，使折痕DE 交BC 于点E ，如图3；打开后，如图4；再沿AE 折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE 和AE 长度的和的最小值是（ ）解析：作点A 关于点C 的对称点'A ，连接',AE AD∴'AEA E =∴'AE DEA E DE +=+根据两点之间线段最短，可知AE DE +的最小值就是'A D 过点D 作DFAC ⊥于点F在'Rt A DF V 中，'1,3DFAF ==∴'A D ==16.如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC上的一动点，求DNMN +的最小值与最大值是（ ）．解析：NMD CB A找点D 关于AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点， 连接BN 、BM ，由DNMN BN MN BM +=+≥可知，当且仅当B 、N 、M 三点共线时，DN MN +的值最小，10=．当点N 在AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM 与AC 的交点，即DN MN +取最小值时；当点N 位于点A时，8DN MN AD AM +=+=+；当点N 位于点C 时，8614DN MN CD CM +=+=+=．故DN MN +的最大值为8+17.如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小是_______.解析：NMD CB AE PC BA连接'BE ，易知'2BEBE ==∴在'Rt BCE ∆中，'CE ==18.如图，45AOB ∠=︒，角内有点P，OP =Q 、R (均不同于O 点)，使得PQR ∆的周长最小，则最小值是______.答案：2 解析：分别做点P 关于直线,OA OB 的对称点''',P P ，连接'''P P 交,OA OB 于点,Q R ，连接,PQ PR ，此时PQR ∆的周长最小∵''',45OPOP AOB =∠=︒B∴'''OP P ∆是等腰直角三角形∵OP=∴'''2P P =∴PQR ∆的周长最小为219.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC 的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PMPN +的值最小，最小值是______.答案：5 解析：作点N 关于AC 的对称点'N ，连接'MN 交AC 于点P ，根据两点之间线段最短，点P 即为所求的点∵,M N 分别是菱形边的中点∴点'N 是CD 的中点 ∴'5MNAD ==NMDCBAPB20.如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．A ．4 B． C．5+D．7+答案：B 解析：作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ． 由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PMPM =．MPCBAMPCBA故''PA PM PA PM AM +=+≥当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7t AM ==．另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，2PA PM AC CM +=+=+ 当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=．故22(27s=+=+22s t -=本题也可作点A 关于BC 的对称点'A ，连接'A M 、'PA ．21.如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB a =．将ABO V 沿BO 对折于A BO 'V ，M 为BC 上一动点，则A M '的最小值为 ．答案：4a - 解析：根据点到直线的距离垂线段最小可知，当'A M BC ⊥，'A M 最小连接'A D ，过点'A 作'ANCD ⊥于点N易知四边形'MCNA 是正方形，所以设'A M MC x ==∵AB a =∴BD =，2BC a =∴在'Rt A BM ∆中，2BMa x =-，'A B a =∴由勾股定理知：222()2a x x a -+=解之得：4xa -=22.如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为14（，） 和30（，） ，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当ABC V 的周长最小时，点C 的坐标是（ ）答案：03（，）解析：作B 点关于y 轴对称点B ' 点，连接AB ' ，交y 轴于点C ' ， 此时ABC V 的周长最小，∵点A 、B 的坐标分别为14（，） 和30（，）， ∴B ' 点坐标为：30（－，），4AE = ，则4BE = ， 即'4B E AE == ，∵C O AE '∥ ，∴3B O C O '='= ，∴点C ' 的坐标是03（，） ，此时ABC V 的周长最小．23.如图，在ABC ∆中，90C∠=︒，4AC =，2BC =，点A 、C 分别在x 轴、y轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是( )解析：取AC 边的中点P ，连接,OP BP 根据三角形三边关系，OB BP OP <+ ∴当点,,O P B 三点共线时，OB 有最大值此时，2OB OP BP =+=+。