专题五 开放探索问题1. 写出一个不可能事件________．解析 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件． 答案 明天是三十二号2．已知一次函数的图象经过点(0，1)，且满足y 随x 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为________．解析 设一次函数的解析式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵一次函数的图象经过点(0，1)， ∴b ＝1，∵y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，故答案为y ＝x ＋1(答案不唯一，可以是形如y ＝kx ＋1，k ＞0的一次函数)．答案 y ＝x ＋1(答案不唯一，可以是形如y ＝kx ＋1，k ＞0的一次函数)．3．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为________(写出一个即可)．解析 本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．答案 y ＝2x，y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋5(本题答案不唯一)4．请写出一个解为x ＝2的一元一次方程：_________________________________. 答案 答案不唯一，如x －2＝0，2x ＝4等5．(2010·毕节)请写出含有字母x 、y 的五次单项式________(只要求写一个)． 答案 答案不唯一，例如x 2y 3，x 3y 2等．6．如图所示，E 、F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点，试添加一个条件：________，使得△ADF ≌△CBE .答案 不唯一，如：AF ＝CE ，AE ＝CF ，∠ADF ＝∠CBE 等．7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是________．答案 答案不唯一，如AC ＝BD ，∠ADC ＝90°等8．如图，反比例函数y ＝k x的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1，2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的P 点坐标为________．答案 答案不唯一，x 、y 满足xy ＝2且x <0，y <0均可9．先化简，再把x 取一个你最喜欢的数代入求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x 2－4x ＋4＋2－x x ＋2÷x x －2.分析 将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x 的取值不能使原式的分母、除式为0. 解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）（x －2）（x －2）2＋2－x x ＋2·x －2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x －2－x －2x ＋2·x －2x ＝（x ＋2）2－（x －2）2（x ＋2）（x －2）·x －2x＝8x （x ＋2）（x －2） ·x －2x＝8x ＋2当x ＝6时，原式＝1.10．已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)．分析根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．解析根据三角形的三边关系，得第三边应大于8－4＝4，而小于8＋4＝12，又∵三角形的两边长分别为4和8，∴4＜x＜12，故答案为在4＜x＜12之间的数都可以．答案在4＜x＜12之间的数都可以11.如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E.(1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可．)(2)若∠ABC是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论，并画出图形．(要求：写出6个结论即可，其他要求同(1)．)解下列结论可供选择：(1)①DE是⊙O的切线；②AB＝BC；③∠A＝∠C；④DE2＝BE·CE；⑤CD2＝CE·CB；⑥∠C＋∠CDE＝90°；⑦CE2＋DE2＝CD2.(2)若∠ABC为直角时，①CE＝BE；②DE＝BE；③DE＝CE；④DE∥AB；⑤CB是⊙O的切线；⑥DE ＝12AB ；⑦∠A ＝∠CDE ＝45°； ⑧∠C ＝∠CDE ＝45°； ⑨CB 2＝CD ·CA ； ⑩CD CA ＝CE CB ＝DEAB；⑪AB 2＋BC 2＝AC 2； ⑫CD DA ＝CEEB.12．已知点A (1，2)和B (－2，5)，试求出两个二次函数，使它们的图象都经过A 、B 两点． 解 法一 设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，2)，B (－2，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2 ①4a －2b ＋c ＝5 ②则①－②得3b －3a ＝－3， 即a ＝b ＋1. 设a ＝2，则b ＝1， 将a ＝2，b ＝1代入①， 得c ＝－1， 故所求的二次函数为y ＝2x 2＋x －1.又设a ＝1，则b ＝0，将a ＝1，b ＝0代入①，得c ＝1， 故所求的另一个二次函数为y ＝x 2＋1.法二 因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确定一条抛物线，可以另外再取一点，不妨取C (0，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ＋c ，5＝4a －2b ＋c ，c ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a －2b ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12，c ＝0，故所求的二次函数为y ＝32x 2＋12x ，用同样的方法可以求出另一个二次函数．13．已知，如图，△ABC 是边长为3 cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t (s)，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？(2)设四边形APQC 的面积为y (cm 2)，求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23？如果存在，求出相应的t 值；若不存在，说明理由．解 (1)当∠BPQ ＝90°时，在Rt △BPQ 中，∠B ＝60°，BP ＝3－t ，BQ ＝t . ∵cos B ＝BP BQ， ∴BP ＝BQ ·cos B ， 即3－t ＝t ·12.解之，得t ＝2. 当∠BQP ＝90°时， 在Rt △BPQ 中，∠B ＝60°，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，∵cos B ＝BQ BP， ∴BQ ＝BP ·cos B ，即t ＝(3－t )·12.解之，得t ＝1. 综上，t ＝1或t ＝2时， △PBQ 是直角三角形． (2)∵S 四边形APQC ＝S △ABC －S △PBQ ，∴y ＝12×3×3·sin 60°－12×(3－t )·t ·sin 60°＝34t 2－334t ＋934. 又∵S 四边形APQC ＝23S △ABC ，∴34t 2－334＋934＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×sin 60°， 整理得，t 2－3t ＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＜0，∴方程无实根，∴无论t 取何值时，四边形APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的23.14．(2012·广州)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，F 为AD 的中点，CE ⊥AB于E ，设∠ABC ＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE 的长； (2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k ，使得∠EFD ＝k ∠AEF ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．②连接CF ，当CE 2－CF 2取最大值时，求tan ∠DCF 的值． 分析 (1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；(2)①连接CF 并延长交BA 的延长线于点G ，证明△AFG 和△CFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF ＝GF ，AG ＝CD ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF ＝GF ，再根据AB 、BC 的长度可得AG ＝AF ，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF ＝∠G＝∠AFG ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC ＝2∠G ，然后推出∠EFD ＝3∠AEF ，从而得解；②设BE ＝x ，在Rt △BCE 中，利用勾股定理表示出CE 2，表示出EG 的长度，在Rt △CEG 中，利用勾股定理表示出CG 2，从而得到CF 2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．解 (1)∵α＝60°，BC ＝10， ∴sin α＝CE BC，即sin 60°＝CE 10＝32，解得CE ＝5 3； (2)①存在k ＝3， 使得∠EFD ＝k ∠AEF .理由如下：连接CF 并延长交BA 的延长线于点G ，如图所示，∵F 为AD 的中点，∴AF ＝FD ， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠G ＝∠DCF ，在△AFG 和△DFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠DCF ∠AFG ＝∠DFC （对顶角相等）AF ＝FD， ∴△AFG ≌△DFC (AAS)， ∴CF ＝GF ，AG ＝DC ， ∵CE ⊥AB ，∴EF ＝GF (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF ＝∠G ， ∵AB ＝5，BC ＝10，点F 是AD 的中点， ∴AG ＝5，AF ＝12AD ＝12BC ＝5，∴AG ＝AF ， ∴∠AFG ＝∠G ，在△EFG 中，∠EFC ＝∠AEF ＋ ∠G ＝2∠AEF ， 又∵∠CFD ＝∠AFG (对顶角相等)， ∴∠CFD ＝∠AEF ，∴∠EFD ＝∠EFC ＋∠CFD ＝2∠AEF ＋∠AEF ＝3∠AEF ， 因此，存在正整数k ＝3， 使得∠EFD ＝3∠AEF ；②设BE ＝x ，∵AG ＝CD ＝AB ＝5， ∴EG ＝AE ＋AG ＝5－x ＋5＝10－x ， 在Rt △BCE 中，CE 2＝BC 2－BE 2＝100－x 2，在Rt △CEG 中，CG 2＝EG 2＋CE 2＝(10－x )2＋100－x 2＝200－20x ， ∵CF ＝GF (①中已证)，∴CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CG 2＝14CG 2＝14(200－20x )＝50－5x ，∴CE 2－CF 2＝100－x 2－50＋5x＝－x 2＋5x ＋50＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋50＋254，∴当x ＝52，即点E 是AB 的中点时，CE 2－CF 2取最大值，此时，EG ＝10－x ＝10－52＝152，CE ＝ 100－x 2＝100－254＝5152，所以，tan ∠DCF ＝tan ∠G ＝CE EG ＝5152152＝153.。