第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。

解：①由梯形公式：21ln 2()[()()][ln1ln 2]0.3466222b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限3''2()111()()0.0833********T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式：13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262b a b a S f f a f f b -+=++=++≈ 最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880S b a R f f ηη-=-=≤≈，其中，(1,2)η∈。

4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a bP x f x f +++=-+ 且'()()()()222bbaa a ba b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点，所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-，构造辅助函数()()()()()2a bK t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差[]''2()()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰ 2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()()224baa b b a f x dx I f R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕6、计算积分1x e dx ⎰，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯可解得：212.85n ≥即至少剖分213等分。

②由复化梯形公式的误差限4(4)5411()()10288028802S b a R f h f e n η--=-≤≤⨯ 可解得： 3.707n ≥即至少剖分4等分。

7、以0，1，2为求积节点，建立求积分3()I f x dx =⎰的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。

解：在0，1，2节点构造lagrange 插值多项式，则有2012()()(0)()(1)()(2)P x l x f l x f l x f =++(1)(2)(2)(1)(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(20)(21)x x x x x x f f f ----=++------则(3)233()()()()()(1)(2)3!f f x P x x x x x x ξωω=+=--对上式在[0，3]上求积分，则有(3)333230()()()()3!f f x dx P x dx x dx ξω=+⎰⎰⎰其中33332222000032332333000(0)(2)()(32)((1))(2)()22(0)131(2)11[2](1)[][]2323232(0)3(2)9222239(0)(2)44f f P x dx x x dx f x x dx x x dx f f x x x f x x x x f f f f =-++--+-=-+--+-=⨯-⨯=-⎰⎰⎰⎰再分析截断误差3(3)1()()(1)(2)3!R f f x x x dx ξ=--⎰ 此处分段处理即23(3)(3)120211()()(1)(2)()(1)(2)()()3!3!R f f x x x dx f x x x dx R f R f ξξ=--+--=+⎰⎰1）其中，对于2(3)101()()(1)(2)3!R f f x x x dx ξ=--⎰由于(1)(2)x x x --在[0，2]上不保持常号故考虑构造一个三次多项式()F x 满足下列插值条件：''''(0)(0)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)F f F f F f F f F f =====由Hermite 插值方法，有(4)21()()()(0)(1)(2)4!f x F x f x x x dx ξ-=--- 则22(4)21001()[()()]()(1)(2)4!R f f x F x dx f x x x dx ξ=-=--⎰⎰显然此时2(1)(2)x x x --在[0，2]上恒小于等于0.于是由第二积分中值定理2(4)21102(4)43210(4)54322(4)1011()()(1)(2)4!1()(452)4!1151()[]()4!5390R f f x x x dxf x x x x dx f x x x x f ηηηη=--=-+-=-+-=-⎰⎰2）其中3(3)221()()(1)(2)3!R f f x x x dx ξ=--⎰显然(1)(2)x x x --在[2，3]上恒正.于是由第二积分中值定理3(3)2223(3)32(3)2221()()(1)(2)3!13()(32)()3!8R f f x x x dxf x x x dx f ηηη=--=-+=⎰⎰综上，截断误差(3)(4)122131()()()()()890R f R f R f f f ηη=+=- 所以 3(3)(4)213931()(0)(2)()(()()())44890I f x dx f f R f R f f fηη==-+=-⎰8、（1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。

)](')0('[)]()0([2)(20h f f h h f f hdx x f h-++≈⎰α解：分别将1)(=x f ，x 代入求积公式，易知求积公式精确成立。

代入2)(x x f =，令求积公式精确成立，于是有：33323,3h h h α-==右左 可解得：121=α 代入3)(x x f =，于是有442,44444h h h h =-==右左 左=右，求积公式成立。

代入4)(x x f =，于是有632,54455h h h h =-==右左 右左≠，求积公式不精确成立。

综上可知，该求积公式具有三次代数精度。

9、对积分dx x x f ⎰-12)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权21)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。

解：（1）构造在[0,1]上构造带权函数21)(x x -=ρ的正交多项式)(0x Q 、)(1x Q 、)(2x Q ，取1)(0=x Q 、)()()(011x Q x x Q α-= ，其中83)1()1()](),([)](),([1210200001=--==⎰⎰dx x dx x x x Q x Q x Q x xQ α， 则83)(1-=x x Q 。

同理，95111916)(22+-=x x x Q ，求)(2x Q 的零点得： 17306907.00=x ，66903619.01=x求积系数：39523617.0)(100≈=⎰dx x l A ρ27143053.0)(111≈=⎰dx x l A ρ（2）求（1）可导出求积公式：)()()1)((110012x f A x f A dx x x f +≈-⎰)66903619.0(27143053.0)17306907.0(39523617.0f f +=11、试用三点Gauss-Legendre 公式计算dx x⎰311并与精确值比较。

解：设三点Gauss-Legendre 求积节点为：5150-=t ，01=t ，5152=t相应求积系数为：950=A ，981=A ，952=A ，1=a ,3=b ， x x f 1)(=，令t a b b a x 22-++=则dt t a b b a f a b dx x ⎰⎰--++-=1131)22(21 09803922.1)22(220≈-++-≈∑=i i i t a b b a f A a b精确值为：ln3=1.09861229， 二者误差：R ≈5.7307×10-4。

13、对积分11()ln f x dx x⎰导出两点Gauss 求积公式 解：在[0，1]上构造带权1()ln x xρ=的正交多项式0()x ϕ、1()x ϕ、2()x ϕ0()x ϕ=1，1000110110001ln ((),())1()()()1((),())4ln x dxx x x x x x x x x dxx ϕϕϕαϕαϕϕ=-====⎰⎰11()4x x ϕ∴=-同理可得22517()7252x x x ϕ=-+求2()x ϕ的零点可得010.112008810.60227691x x ==以0x 、1x 作为高斯点两点高斯公式，1n =，应有3次代数精度，求积公式形如1001101()ln ()()f x dx A f x A f x x=+⎰将()1,f x x =代入上式两段，1010100111ln 1ln dx A A xx dx x A x Ax ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰ 联立解出：010.71853932,0.28146068A A ≈≈ 所以所求两点Gauss 求积公式1001101()ln ()()0.71853932(0.11200881)0.28146068(0.60227691)f x dx A f x A f x f f x=+=+⎰15、利用三点Gauss-Laguerre 求积公式计算积分211dx x +∞+⎰解：原积分201()1xI dx e f x dx x +∞+∞-==+⎰⎰，其中2()1x e f x x =+ 由三点Gauss-Laguerre 求积节点：0130.4157745568, 2.2942803063, 6.2899150829x x x ===相应求积系数0120.7110930099,0.2785177336,0.010*******A A A === 则2() 1.49790652KK K I Af x ==≈∑16、设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2i x x ih i =+=。