课题：正态分布袁龙艳（湖北省恩施市第一中学）一、教学设计1．教学目标分析在上次教材改革中增加了正态分布，此次新课程标准中理科选修2-3仍然保留了正态分布的内容，只是在内容上作了一些调整，课本删除了标准正态分布和正态分布函数表，只要求利用对称性和“3σ”原则分析实际问题，从而考查难度有所降低，注重考查阅读理解能力。

正态分布在概率和统计中占有重要的地位，如现今德国10马克的钞票印有高斯头像，其上还印有正态分布的密度曲线。

这是给高斯的最高荣誉，同时传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是正态分布。

正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。

自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。

正态分布还具有很多优良的性质，在数学、物理及工程控制、医学检测等领域有着广泛的应用。

在大学的理工科基本上都要学习正态分布的相关内容，在高中新课标中仍保留了正态分布是很有必要的。

因此，我们要提高认识。

本节课作为新授课，加上正太密度曲线函数式很复杂，内容抽象，我力图通过flash 动画模拟高尔顿钉板实验激发学生的兴趣，几何画板动态演示，小组合作探究，老师引导点拨，学生归纳总结，让学生对正态密度曲线的生成、性质有更直观的认知。

结合课标要求，制定如下教学目标：(1)知识目标：①认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。

②会根据对称性进行简单正态分布的相关概率计算，并能解决一些简单的实际问题。

（2）能力目标①能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力。

②培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。

（3）情感目标通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神。

2．教学内容解析正态分布是高中新教材人教A 版选修2-3的第二章“随机变量及其分布”的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修3第二章频率分别直方图和第三章概率知识的后续。

该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。

旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。

课标教材利用高尔顿钉板试验引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。

本节课的教学重点确定为：（1） 正态分布密度曲线的特点和性质；（2） 正态分布密度曲线所表示的意义。

3．教学问题诊断在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。

但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。

正态分布有涉及到要用积分的思想求曲面梯形面积的问题，高中阶段学生掌握的积分知识要求正态密度函数的定积分还是很困难的，学生想通过定积分来求，这里老师要做好引导。

而且课标的要求只要求学生知道正态分布在≤a<χb 的概率就是通过用定积分来求曲边梯形的面积，而中学阶段正态分布的题目主要是根据正态曲线的对称性、3σ原则及结合概率为1来设置的，则正态曲线的特点和性质既是重点也是难点。

本节的教学难点确定为：（1） 在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布；（2） 正态分布密度曲线所表示的意义。

4．教学对策分析本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了flash 动画模拟、几何画板动态演示的直观教学法、学生分组讨论合作探究教学法。

通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程。

而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。

5．教学基本流程6．教学过程设计（一）高尔顿钉板试验引入我利用模拟高尔顿钉板试验的flash 动画演示，让学生经过观察发现下落的小球在槽中的分布是有规律的。

设计意图：教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣。

为复习频率直方图铺设情景。

（二）复习引入复习频率分布直方图和总体密度曲线，并用几何画板演示直方图由几个到很多总体密度曲线的变化过程。

教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率及总面积为 1. 教师引导学生如果去掉隔板，此时小球与底部接触时的横坐标X 是一个连续型随机变量。

设计意图：通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移。

通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解，并为后面正态分布的概率问题作好铺垫。

这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。

通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程。

（三）生成函数通过前面的高尔顿试验及频率分布直方图的复习，这里可以直接给出正态密度曲线的函数式，简单分析结构，交代各个字母的含义。

设计意图：水到渠成自然来。

（四）探究性质教师利用几何画板，先后固定参数σ和μ，通过变化参数μ和σ的值得到一系列正态曲线，学生观察图象，分组讨论并派代表发言。

同时教师板书。

设计意图：该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力。

该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。

这样的处理很好地突出了重点，突破了难点。

（五）正态分布曲线与x 轴围成的面积为1。

根据对称性知，随机变量X 落在对称轴μ=x 两侧的概率都是21。

请思考：对于任意一个随机变量X ，如何求出落在给定区间(]b a ,内的概率？引导学生回忆得到：X 落在区间(]b a ,的概率的近似值其实就是在(]b a ,上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数()x ϕ在区间(]b a ,上的定积分。

即：()()dx x b X a P ba σμϕ,⎰≈≤＜。

教师在前面分析的基础上引出Oyxa b正态分布的概念，并说明记法。

引导学生分析得到，X 所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率。

设计意图：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解。

以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识。

同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。

（六）3σ原则教师通过利用几何画板演示随机变量X 落在区间(]σμσμ+-,,(]2,2σμσμ+-与(,3σμ-]3σμ+这三个区间内的概率，引入3σ原则的内容，并指出：在()σμσμ3,3+-区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取()σμσμ3,3+-之间的值，简称σ3原则。

我们可以利用3σ原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。

设计意图：新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难。

教师利用几何画板，从数与形上体现了3σ原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解。

（七）例题讲解例题： 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如下图： ① 写出X 的分布密度函数；②求成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？③求成绩X 位于区间(]68,60的概率是多少？若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？ 设计意图：通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情。

本例是由课本74页练习1进行变式处理，做到了一题多用。

该环节设置的②③④这三个小问，分别要求学生根据σ3原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率。

体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度。

（八）课堂小结1.正态曲线有哪些具体的特点？2.σ3原则是什么？它对μ、σ取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？3．思想方法：数形结合等。

4.生活中的正态分布。

20 40 60 80 100 y π281x O设计意图：通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价。

教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法。

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。

（九）作业布置A组课本75页 A组第1题77页B组第2题B组在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()N，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

试问此次参赛的学生总数约70100,有多少人？课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值。

设计意图：学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足。

二、教学反思本节课以“合作探究”为主要设计思想，教师通过试验引入——旧知铺垫——生成函数——层层深入——探究新知——延伸拓展等环节展示了一个完整的数学探究过程，符合新课标以学生为中心的基本教学理念。

一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验. 教学中，注重学生的亲身体验，通过几何画板的充分应用，为学生探究创设了很好的条件，通过合作探究、归纳总结轻松突破了本节课的重难点，让学生对很抽象的正态分布有了很深刻的认识，学生亲历探究得到知识的同时，体会研究问题的思想与方法。

数学知识之间存在着内在的本质联系，本设计充分注意了新旧知识间的内在联系，这样更容易使学生在学习过程中把前后所学知识联系起来进行理解记忆，更容易体会数学知识的形成过程。

成功之处：一是教学设计独到而又新颖，利用高尔顿动画演示引入，几何画板动态演示，学生小组合作探究，突出了以学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建构；二是教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；三是多媒体课件的内容丰富而又简洁，它仅仅作为课堂教学的辅助载体.改进之处：由于学生太多，学生基础差异性较大，学生的合作探究不是很充分，又因为教室没有展示平台，对每个小组合作探究的成果无法一一展示，对学生的成就感的机会创设有所欠缺。

随着新课程标准的实施，新教材的使用，让我们感受到数学教学改革正迈着坚实的步伐前进着。