-总之
Co (sI Ao )1 Bou(s) Y (s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
R(s)Co (sI Ao )1 Bou(s) [R(s)Y (s) W (s)]u(s)
X (s)(sI Ao )C
C(sI Ao )1 Bou(s) [ X (s)Bo R(s)Y (s) W (s)]u(s)
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（3）前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得
H 1(s)P(s) (s) H 1(s)Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
再消去H 1(s)P(s)和R(s)的gcrd F (s) ,即做代换
(s) F (s) (s)
的实现。 • 步骤：
– 先把 P1(s)Q化(s)成满足左MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约， Pr1(s)严Qr (格s) 真；
(s) P1(s)Q(s)u(s) [M (s)P(s)]1 [M (s)Q(s)]u(s)
Pr (s)
Qr (s)
Pr1(s)Qr (s)u(s) [Y (s) Pr1(s)Qr (s)]u(s)
P(s)F (s) (s) Q(s)u(s)
y(s)
R
(s)F
(s)
(设 (s) F (s) (s),则
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
不可简约
rank P(s) Q(s) rank P(s) Q(s) ,故P(s),Q(s)左互质.
右互质
不可简约PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
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• 由可简约PMD求不可简约PMD
（1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质
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strictly proper
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-对 Pr1(s)Q求r (s观) 测器形实现（利用上节方法）， 得 {Ao, Bo,C必o}有,
Co (sI Ao )1 Bo Pr1(s)Qr (s) ( Ao ,Co )observable
(s) [Pr1(s)Qr (s) Y (s)]u(s)
H 1(s)P(s)F 1(s) (s) H 1(s)Q(s)u(s)
y(s)
R(s)F
1
(s)
(s)
W
(s)u(s)
P(s) H 1(s)P(s)F 1(s),Q(s) H 1(s)Q(s)
R(s) R(s)F 1(s),W (s)
{P(s),Q(s), R(s),W (s)}即为不可简约
Cˆ(s)
E(s)uˆ(s)
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3.矩阵分式描述的PMD
给定G(s) N (s)D1(s)+E(s)
则等价的PMD为： D(s)ˆ(s) Iuˆ(s)
yˆ ( s)
N
(s)ˆ(s)
E(s)uˆ(s)
三.不可简约PMD
不可简约PMD：{P(s),Q(s)}左互质，且{P(s),R(s)}
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5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q(s) W (s) C(sI A)1 B E(s) 则称{A, B,C, E( p)}为给定PMD的实现.
此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s),非奇异
则
P(s) H (s)P(s)
Q(s) H (s)Q(s)
P (s), Q(s)左互质
P(s) (s) Q(s)u(s)两边左乘H 1(s), 得
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
不可简约
第5章 线性时不变系统的 多项式矩阵描述
5.1 多项式矩阵描述(PMD) 5.2 多项式矩阵描述的状态空间实现 5.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描
述的能控性与能观测性 5.4 传输零点和解耦零点 5.5 系统矩阵和严格系统等价
主要的数学描述
输入 输出 描述
状态 空间 描述
矩阵 分式 描述
系统 矩阵 描述
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二. PMD和其他描述的关系
1 多项式矩阵的传递函数矩阵
G(s) R(s)P1(s)Q(s) W (s)
2 状态空间描述的PMD
给定
x y
Ax Bu ,t Cx E( p)u
0
x(0)
0
则状态空间描述等价的PMD为：
(SI A)ˆ(s) Buˆ(s)
yˆ ( s)
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行 （列）既约，严格真；
– 在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求 (s) P1(s)Q(s)u(s)
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5.1 多项式矩阵描述(PMD)
一 多项式矩阵描述的形式
多输入多输出线性定常系统：
输入u=
u1
,广义状态
=
1
，输出y=
y1
up
m
yq
系统的多项式矩阵描述为：
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u
(s)
注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。
C(sI Ao )1 Bou(s) E(s)u(s)
实现为 2020/12/29 {A, B, C, E( p)}
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[结论]
对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),
rank
P(s) R(s)
rank
P(s) R(s)
, 故P ( s),
R(s)右互质.
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(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质
P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇异
P(s) P(s)F (s) R(s) R(s)F (s) P(s), R(s)右互质 原描述可写成