推论：
1)(A B)k =Ak Bk,k=1,2,L ；
2)(A
I n
)(I m
B)
(Im
B)(A
I n
)
A
B.(乘法可交换)
性质4可推广到一般情形：
1)(A 1
B )(A
1
2
B 2
)L
(A k
B k
) (A1A 2
L
Ak )(B1B2 L
B ); k
2)(A 1
A 2
L
A
k
)(B1
B 2
L
B
当x 时, x
0，由于
x
和
x
都是1,L
,
的连续函数，
n
故
f(1,L
,n )=
x x
仍是1,L
,
的连续函数，考虑有界闭集
n
n
S={ =(1,L ,n )T| i 2 =1}, S为R n (或Cn )中的单位球面.因为 i 1
f(1,L
,n )=
x ，x ，所以f 在Ｓ上无零点．
1
,L
,
a1 M
s
an
an
a1 M
1
,L
an
,
a1 M
s
an
( 1,L
, s ).
直积的基本性质： 1)k(A B)=(kA) B=A (kB),k为常数； 2)分配律(A+B) C A C B C,C (A+B) C A C B; 3)结合律(A B) C A (B C); 4)吸收律(A B)(C D) (AC)(BD),AC与BD有意义.
定理1：1)两个上三角矩阵的直积是上三角阵; 2)两个对角矩阵的直积是对角阵; 3)In Im Im In Imn.
直积具有以下运算规律：
命题1：1)
A C
B D
F=
A C
F F
B D
F F
;
2)设为列向量，且B=(1,L ,s ),则
B=( 1,L , s );
3)设A=(1,L
第五章 矩阵的直积
第一节 直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵
a11B
a
21B
a12B L a22B L
M M
am1B am2B L
a12B
a
2
nB
M
a mnB mpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(aijB)mpnq .
i 1
i 1
i 1
n
1
k( i i 2 )2 ,
i 1
n
1
其中 k ( ei 2 )2 为常数.所以(1,L ,n )= x 是1,L ,n的连续函数.
i 1
现在证明定理的结论，设 x , x 是V中任意两种范数，要
证明存在正数k1及k2，使得x V,都有：k1
x
x k2
x.
当x=时，显然成立.
可断言V中任一范数 x 都是关于1,L ,n的连续函数，令
n
(1,L ,n ) x ,则y iei V，则有 i 1
n
(1,L ,n )-(1,L ,n ) = x y x y (i i )ei i 1
n
n
1n
1
( i i ei ) ( ei 2 )2 ( i i 2 )2
k
)
(A1B1
)
(A
B
2
2
)
L
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
2
2
2
2
x 2 2 x y y 2 x y 2
2
22
2
2
2
所以 x+y x y .
2
2
2
n
1
例2：设1 p ,x=(1,2,L ,n )T Cn ,定义 x p ( i p ) p ,
i 1
则 x 是Cn中的范数.称为p-范数. p
p=1时，为1-范数；p=2时，为2-范数； 令p ,得-范数.这三种范数为常见范数.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1,L ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1,L ,s )
M
B
M
M
an
an B an (1,L ,s )
a1 1,a1 2 L ,a1 s
M
an 1,an 2,L ,an s
a1 M
,t )nt，B=(1,L
,
s
)则 ps
A B=(1 1,L
,1 s ,L
,t
1,L
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )

F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
n
1
x ( 2
i 2 )2 =
xH x
(x, x),即 x 是由酉空间C n 2
i 1
中内积诱导的范数,故由Cauchy不定式得
x+y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y) 2
x 2 2 Re(x, y) y 2 x 2 2 (x, y) y 2
例如：A=
a c
b d
,
B=
2 3
，则
A
B=
aB cB
2a
bB dB
=
3a 2c 3c
2b
2a
3b 2d 3d
,
B
A=
2A 3A
=
2c 3a 3c
2b
2d
.
3b
3d
A B, B A的阶数相同，但一般A B B A.直积不 满足交换律. 由直积的定义容易推出以下定理：
x y xy
n
例1：x=(1,2 ,L ,n )T Cn ,定义 x 1 i , x max i ,
i 1
1in
n
1
x ( 2
i
2 )2 ,则
x
，x
1
及
x
均是C n中的范数.
2
i 1
证明：不难验证 x ，x 均是范数，对于 x ，正定性和
1
2
齐次性显然满足.下证满足三角不定式：
设x=(1,2 ,L ,n )T , y=(1,2 ,L ,n )T C n.注意到
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1,L , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 L nen (e1,L , en ) , 其中 =(1,L ,n )T为x的坐标向量.