A1 A2 2 A1
A3
若系统横截面上三个表面的长度分别为l1，l2和l3，则上式可写为：
X1,2

l1
l2 l3 2l1
两表面A1、A2之间的角系数：
X ab,cd 1 X ab,ac X ab,bd
X ab,ac

ab
ac bc 2ab
X ab,bd

ab bd ad 2ab
A1X1,2

A1

A2
cos1 cos2dA2 r2
dA1
X1,2

1 A1
A1
cos1 cos2dA2dA1
A2
r2
图12-6 说明直接 积分法的图示
这就是求解任意两表面之间角系数的积分表达式。
2、代数分析法
利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过求解代数方程而获得角 系数的方法称为代数分析法。

dA1 cos 1 cos 2 r2
得： dA1 X d1,d 2 dA2 X d 2,d1
这就是两微元表面间角系数相对性的表达式。 两有限大小表面A1、A2之间角系数的相对性：
1,2 A1Eb1 X1,2 A2 Eb2 X 2,1 当 T1 T2时有： A1 X1,2 A2 X 2,1
i Ai
12.3.3 三表面封闭系统中的两种特殊情形
（1）有一个表面为黑体。
其表面热阻
1 3 3 A3
0，有
J3
Eb3。
（2）有一个表面绝热，即净辐射换热量q为零。
J3

Eb3


1

1
q

Eb3
图12-23 三表面系统的两个特例
该表面的有效辐射等于某一温度下的黑体辐射。与已知表面为黑体的 情形不同的是，此绝热表面的温度是未知的。
从一个微元表面dA1到另一个微元表面dA2的角系数， 记为Xd1,d2，按定义：
X d1,d 2

落到dA2上由dA1发出的辐射能 dA1向外发出的总辐射能

Lb1
cos1dA1d
Eb1dA1

dA2
cos1 cos2 r2
图12-2 微元表面角系数 相对性证明的图示
类似地有：
X d 2,d1
§ 12.3 多表面系统的辐射传热
多表面系统中，一个表面的净辐射换热量是与其余各表面分别换热的换 热量之和。工程计算的主要目的是获得一个表面的净辐射换热量。
对于多表面系统，可以采用网络法或数值方法来计算每一表面的净辐射 换热量。
12.3.1 两表面换热系统的辐射网络
由
J

Eb

(
1

1)q 得：
X1,2 A2 2
s

1
X1,2
(
1
1
1 1)
X
2,1
(
1
2
1)
灰体系统的计算式中多了一个修正因子εs。εs的值小于1，它是考虑由 于灰体系统发射率之值小于1引起的多次吸收与反射对换热量影响的因子， 称为系统发射率（常称系统黑度）。
简化1：表面1为平面或凸表面
1,2

A1 ( Eb1 1 A1
热阻见右图，每一对表面就有一个空间
J1
辐射热阻。

1
J1
A
表面辐射热阻

1
J2
A1 X1,2
空间辐射热阻
12.3.2 多表面封闭系统网络法求解的实施步骤
（1）画出等效的网络图。 (a)每一个参与换热的表面（净换热量不为零的表面）均应有一段
相应的电路，它包括源电势、与表面热阻相应的电阻及节点电势； (b)各表面之间的连接，由节点电势出发通过空间热阻进行。

T1 100
4


T2 100
4

1 1 1
1 2
1 2
图12-16 平行平板间辐射
简化3：表面积A2比A1大得多。
传热的示意图
1,2

1 A1(Eb1

Eb2 )

1 A1

5.67

T1 100
4


0
2 A2
A1 X1,2 A2 X 2,3
3 A3
A1 X1,3 A2 X 2,3
图12-21 由3个表面组成的封闭腔 图12-22 三表面封闭腔的等效网络图
（3）求解上述代数方程得出节点电势（表面有效辐射） J1、J 2及
J
。
3
（4）按公式
i

Ebi Ji
1 i
确定每个表面的净辐射换热量。


表面1发出 表面 2发出
的热辐射 的热辐射
到达表面 到达表面
2的部分 1的部分
图12-13 两黑体表面换热系统
12.2.2 有效辐射 1、有效辐射的定义
定义单位时间内投射到表面的单位面积上的总辐射能为投入辐射，记 为G；
定义单位时间内离开表面单位面积的总辐射能为该表面的有效辐射， 记为J。
表面1的有效辐射有如下表达式：
图12-3 有限大小两表面间 角系数相对性证明的图示
2、 角系数的完整性
任何一个表面对封闭腔各表面的角系数
之间存在下列关系：
n
X1,1 X1,2 X1,3 L X1,n X1,i 1
i 1
此式表达的关系称为角系数的完整性。
图12-4 角系数完整性证明的图示
表面1为非凹表面时，X1,1 0 ；为凹表面时， X1,1 0 。
辐射换热系统中，这种表面温度未定而净的辐射换热量为零的表面称
为重辐射面。
1,2
求解角系数的方法有直接积分法、代数分析法及几何分析法等。
1、直接积分法
直接积分法是按角系数的基本定义通过求解多重积分
而获得角系数的方法。
X d1,d 2

cos1 cos2dA2 r2
微元面积dA1对A2的角系数：
X d1,2
表面A1对A2的角系数：
cos1 cos2dA2
A2
r2
§12.2 两表面封闭系统的辐射换热
12.2.1 封闭腔模型及两黑体表面组成的封闭腔
1、封闭腔模型 计算对象必须是包含所研究表面在内的一个封闭腔。
2、两黑体表面封闭系统的辐射换热
1,2 A1Eb1 X1,2 A2 Eb2 X 2,1 A1 X1,2 (Eb1 Eb2 ) A2 X 2,1 (Eb1 Eb2 )
J

E

1
q

Eb
(1

1)q
12.2.3 两个漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热 由两个等温的漫灰表面组成的二维封闭系统可抽象为四种情形。
1,2 A1J1 X1,2 A2 J2 X 2,1
J1 A1

A1Eb1

1 (
1
1)1,2
J2 A2

A2 Eb2
( 1
2
1) 2,1
T2 100
4
例题12-2：液氧储存容器为双壁镀银的夹层结构（图12-17),外壁内表面 温度tw1＝20℃，内壁外表面温度tw2＝－183℃，镀银壁的发射率ε＝ 0.02。试计算由于辐射传热每单位面积容器壁的散热量。
图12-17 液氧储存容器示意图
例题12-3： 一根直径d＝50mm、长l=8m的钢管，被置于横断面为0.2m×0.2m 的砖槽道内。若钢管温度和发射率分别为t1=250 ℃ 、ε1=0.712，砖槽壁面温 度和发射率分别为t2=27 ℃ 、ε2=0.123，试计算该钢管的辐射热损失。
由三个表面组成的封闭系统的角系数计算公式：
X1,2 X1,3 1 X 2,1 X 2,3 1
A1 X1,2 A2 X 2,1 A1 X1,3 A3 X 3,1
X 3,1 X 3,2 1
A2 X 2,3 A3 X 3,2
图12-10 三个表面的封闭系统
X 1, 2

图12-1示出了两个等温表面间的两种极端布置情况：
图a中两表面间无限接近，相互间的 换热量最大；
图b中两表面位于同一平面上，相互 间的辐射换热量为零。
两个表面间的相对位置不同时，一个 表面发出而落到另一个表面上的辐射能的 百分数随之而异，从而影响到换热量。
12.1.1 角系数的定义及计算假定
图12-1 表面相对位置的影响
1
1
A 及 A1X1,2 相当于电阻，
分别称为辐射传热的表面辐射热阻
及空间辐射热阻，它们分别取决于
表面的辐射特性（ε）及表面的空
间结构（角系数X）。
图12-112 辐射传热单元网络图
两个灰体表面间辐射换热的等效网络：
换热量计算式：
1,2

1 1
Eb1
1
Eb 2
1 2
1 A1 A1 X1,2 2 A2
第12章 辐射传热的计算
§12.1 辐射传热的角系数
前面讲过，热辐射的发射和吸收均具有空间方向特性，因此，表面 间的辐射换热与表面几何形状、大小和各表面的相对位置等几个因素均 有关系，这种因素常用角系数来考虑。角系数的概念是随着固体表面辐 射换热计算的出现与发展，于20世纪20年代提出的。
两个表面之间的辐射换热量与两个表面之间的相对位置有很大关系。
X ab,cd

bc ad (ac bd) 2ab
图12-11 交叉线法图示
交叉线法：
交叉线之和 不交叉线之和
X1,2 2 表面A1的断面长度