2)边际平均成本：
平均成本 C (Q )的导数 C (Q ) QC (Q ) C (Q ) C ( Q ) 称为平均边际成本 . 2 Q Q
总成本 C (Q )等 于 固 定 成 本 C 0与 可 变 成 本 C 1 (Q )之 和 ， 即 ：C (Q ) C 0 C 1 (Q )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
这表明 f ( x) 在点 x x0 处，当 x 产生一个单位的 改变时， y 近似改变 f ( x0 ) 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去 “近似” 二字．
定义1 设函数 y f ( x) 在 x 处可导，则称导数 f ( x)
在 x x0 处的相对变化率，也就是相对导数，或称为 函数 y f ( x )在 x x0 处的弹性．
记作
Ey Ex
或
x x0
E f ( x0 ) Ex
即
Ey Ex
x x0
y y0 y y0 lim lim x 0 x x x 0 x x0 0
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
tan m f ( x) Ey 又平均函数为 tan ,因 而 x Ex tan tan m Ey 若考虑弹性的绝对值， 则 Ex tan 如果我们知道了一条函 数y f ( x )所 示 的 曲 线 ， 则在曲线上任一点 A处 对 应 的 弹 性 ， 通 过 A作 曲 角 m 和 ， Ey 进而就可得 . Ex
Ec (1)常数函数f ( x ) C的弹性 0 Ex E ( ax b ) ax ( 2)线性函数f ( x ) ax b的弹性 Ex ax b E ( ax ) ( 3)幂函数f ( x ) ax 的弹性 Ex x E ( ba ) x ( 4)指数函数f ( x ) ba 的弹性 x ln a Ex E ( b ln ax ) x ( 5)对数函数f ( x ) b ln ax的弹性 Ex ln ax E (sin x ) E (cos x ) ( 6)三角函数 x cot x , x tan x Ex Ex
2 常见函数的弹性（a,b,c,为常数）
3 弹性的四则运算
Ef 1 ( x ) Ef 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f 1 ( x ) f 2 ( x ) Ex Ex (1) Ex f1 ( x ) f 2 ( x ) f1 ( x ) E Ef ( x ) Ef ( x ) f ( x ) ( 2) 2 1 2 Ex Ex Ex f1 ( x ) E Ef ( x ) Ef ( x ) f ( x ) ( 3) 2 1 2 Ex Ex Ex
而边际成本则为：
C(Q) [C0 C1 (Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为 Q2 C ( Q ) 1100 1200 ， 求： (1) 生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2) 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3) 生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义 .
解
dQ 100 dP
当P 20时，Q 1000
20 所以E P 100 2. 1000
(一)几种特殊的价格弹性 从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：
边 际函 数 y f ( x )的 几何 意 义为 所 示曲 线 上 各点 的 切线 斜 率，
y
A( x , f ( x ))
y f ( x)
y
O

m
x
图2-2
x
四、 经济学中常见的弹性函数
1. 需求弹性 1)需求的价格弹性
需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起 的需求量的反应程度.用公式表示为
解 Q( P ) dP 2 P ,当P 4时的边际需求为
dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x 0 处可导，且 x0 0 ，
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分 析后，得出总利润 L(Q ) (元)与每月产量 Q (吨)的
2 L L ( Q ) 250 Q 5 Q 关系为 ，试确定每月生产 20
吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释． L(Q) 250 10Q, 则 解 边际利润为
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，总利润函 数L(Q )等于总收益函数 R(Q )与总成本函数 C (Q )之差．即
L(Q ) R(Q ) C (Q ), 则边际利润为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显然, 边际利润可由边际收入 与边际成本决定 , C ( Q ) R( Q ) C ( Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
4. 边际需求
定义 若Q f ( P)是需求函数，则需求量Q对价格P
dP 的导数 f ( P)称为边际需求函数. dQ
显然， f ( P ) 1
f
1
(Q )


2 Q Q ( P ) 75 P 例 6 某商品的需求函数为 ，求 P 4
时的边际需求，并说明经济意义．
x0 . f ( x 0 ) f ( x0 )
弹性函数的定义
一般的，若函数y f ( x )在区间内(a , b )可导， Ey y / y y x x 且f ( x ) 0，则称 lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y 为函数y f ( x )在区间(a , b )内的点弹性函数，简称 弹性函数.
2Q Q ( 3)边际成本函数 C ( Q ) , 当Q 900 1200 600 时的边际成本 C (Q ) Q 900 1.5
2. 边际收益
定义：总收益函数 R(Q )的导数
R R(Q Q ) R(Q ) R (Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际收益函数 .
当销售量从 15个 单 位 增 加 到 20个 单 位 时 收 益 的 平 均 变 化率为 R R( 20) R(15) 320 255 13 Q 20 15 5
例4. 当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品 的需求函数为P P (Q ) 10e ，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数 和边际函数．
Q P dQ P E P lim . p 0 P Q dP Q
注 因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，
需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方 便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常 用符号 表示。
Q 100P 3000 ，求 例1 某需求曲线为： 当P 20时的弹性．
解 (1)生产900个单位时的总成本为 9002 C (Q ) Q 900 1100 1775 1200
平均成本为
C (Q)
Q 900
1775 1.99 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q ) C (1000) C (900) 1993 1775 1.58 Q 1000 900 100
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 称函数的相对改变量 y0 f ( x0 ) y y0 x 与自变量的相对改变量 之比 为函数从 x0 x x0
x 0 到 x0 x 两点间的平均相对变化率，或称为 x 0 与 x0 x 两点间的弹性．
y y0 当 x 0时， 称 的极限为函数 y f ( x ) x x0
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本函数 C (Q )的 导 数 C (Q ) Lim C C (Q Q ) C (Q ) Lim Q 0 Q Q 0 Q
Q 2
解 收益函数 R(Q) PQ 10Qe

Q 2
(0 Q 6)
Q 2
边际收益函数 R(Q) 5(2 Q)e
(0 Q 6)
3. 边际利润 定义：总利润函数 L(Q )的导数
L L(Q Q ) L(Q ) L(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际利润 .
解
销 售15个 单 位 时 总 收 益R Q 15
Q2 总收益为 R QP (Q ) 20Q 5
Q2 ( 20Q ) 5
255
Q 15
平均收益 R Q 15
R(Q ) Q

Q 15
255 17 15
边 际收 益R(Q ) Q 15
2 ( 20 Q ) 14 5 Q 15
第六节
边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数 y f ( x ) 在 x0 处可导，则在( x0 , x0 x ) 内的
y 平均变化率为 ；在x x0 处的瞬时变化率为 x f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) ， x 0 x 经济学中称它为 f ( x ) 在x x0 处的边际函数值 .