二次根式混合计算练习一．选择题（共9小题）1．已知a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．10 B．12 C．10 D．152．化简﹣（）2，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．43．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4 B．2 C．2 D．204．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++15．若4与可以合并，则m的值不可以是（）A． B． C． D．6．下列根式中，不能与合并的是（）A． B． C． D．7．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A．0 B． C．2+D．2﹣8．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．9．已知，则的值为（）A． B．±2 C．±D．二．填空题（共7小题）10．已知1＜x＜2，，则的值是．11．已知，则=．12．已知ab=2，则的值是．13．有下列计算：①（m2）3=m6，③m6÷m2=m3，④，⑤，其中正确的运算有．14．计算=．15．化简：+2x﹣x2=．16．若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是．三．解答题（共24小题）17．计算：．18．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．19．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．20．先化简，再求值：（﹣）•，其中x=．21．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．22．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．23．计算：．24．计算：（+）×．25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？26．先化简，再求值：，其中．27．计算：（1）|﹣2|﹣（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）28．已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．29．先化简，再求值：，其中a=+1．30．．31．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．32．先化简，再求值：•，其中．33．已知：a=，b=．求代数式的值．34．计算：35．已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．36．计算：．37．计算（1）（2）．38．计算：+（﹣1）+（）0．39．计算：（1﹣）++（）﹣1．40．（1）计算：（2014﹣）0+|3﹣|﹣；（2）化简：（1﹣）÷（﹣2）二次根式混合计算练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2015•蓬溪县校级模拟）已知a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（）A．10 B．12 C．10 D．15【分析】由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣可得，a﹣c=4然后整体代入．【解答】解：∵a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，∴a﹣c=4，∴原式====15．故选D．【点评】此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．2．（2016•黄冈校级自主招生）化简﹣（）2，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4【分析】求值的第一个式子是个完全平方公式，开方要注意正负值，由已知条件可得3x﹣5≥0，即3x≥5，所以3x﹣1＞0，据此求解．【解答】解：由已知条件可得3x﹣5≥0，即3x≥5，则3x﹣1＞0，∴原式=（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=3x﹣1﹣3x+5=4．故选D．【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用了、=a（a≥0）的性质．3．（2015•）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4 B．2 C．2 D．20【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．【解答】解：∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解．4．（2016•校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣=﹣===，∴a的小数部分=﹣1；∵﹣==﹣==，∴b的小数部分=﹣2，∴﹣====．故选B．【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．5．（2004•）若4与可以合并，则m的值不可以是（）A． B． C． D．【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同．【解答】解：A、把代入根式分别化简：4=4=，==，故选项不符合题意；B、把代入根式化简：4=4=；==，故选项不合题意；C、把代入根式化简：4=4=1；=，故选项不合题意；D、把代入根式化简：4=4=，==，故符合题意．故选D．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．6．（2015•凉山州）下列根式中，不能与合并的是（）A． B． C． D．【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．【解答】解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项合题意；D、，本选项不合题意；故选C．【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．7．（2015•）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A．0 B． C．2+D．2﹣【分析】未知数的值已给出，利用代入法即可求出．【解答】解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．故选C．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．8．（2016•）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解：A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．9．（2016春•校级月考）已知，则的值为（）A． B．±2 C．±D．【分析】把的两边平方，得出x2+的数值，再把两边平方，代入x2+的数值，进一步开方得出结果即可．【解答】解：∵，∴（x+）2=7∴x2+=5（x﹣）2=x2+﹣2=5﹣2=3，x﹣=±．故选：C．【点评】此题考查代数式求值，注意式子的特点，灵活运用完全平方公式计算．二．填空题（共7小题）10．（1997•江）已知1＜x＜2，，则的值是﹣2．【分析】由于（）2=x﹣1﹣2+=x+﹣3，又∵，由此可以得到（）2=4，又由于1＜x＜2，由此可以得到的值＜0，最后即可得到的值．【解答】解：∵（）2=x﹣1﹣2+=x+﹣3，又∵，∴（）2=4，又∵1＜x＜2，∴＜0，∴=﹣2．故填：﹣2．【点评】此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题．11．（1998•）已知，则=13．【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【解答】解：设m=，n=，那么m﹣n=2①，m2+n2=+=34②．由①得，m=2+n③，将③代入②得：n2+2n﹣15=0，解得：n=﹣5（舍去）或n=3，因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．所以=n+2m=13．【点评】本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．12．（1998•江）已知ab=2，则的值是．【分析】由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a＞0，b＞0；a＜0，b＜0．【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式=；当a＜0，b＜0时，原式=﹣﹣=﹣2．【点评】此题的难点在于需考虑两种情况．13．（2012•德阳）有下列计算：①（m2）3=m6，②，③m6÷m2=m3，④，⑤，其中正确的运算有①④⑤．【分析】由幂的乘方，可得①正确；由二次根式的化简，可得②错误；由同底数的幂的除法，可得③错误；由二次根式的乘除运算，可求得④正确；由二次根式的加减运算，可求得⑤正确．【解答】解：∵（m2）3=m6，∴①正确；∵==|2a﹣1|=，∴②错误；∵m6÷m2=m4，∴③错误；∵=3×5÷=15÷=15，∴④正确；∵=4﹣2+12=14，∴⑤正确．∴正确的运算有：①④⑤．故答案为：①④⑤．【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，注意运算需细心．14．（2010•校级一模）计算=1+ ．【分析】根据平方差公式求出（2﹣）（2+），然后进行幂的运算，即可得出答案．【解答】解：={（2﹣）（2+）}2008（2+）﹣1=2+﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和零指数幂的知识，属于基础题，关键掌握二次根式的混合运算法则和非0数的0指数幂都等于1．15．（2003•）化简：+2x﹣x2=﹣2x．【分析】利用开平方的定义计算．【解答】解：原式=+2x﹣x2=2x+x﹣5x=﹣2x．【点评】应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并．16．（2012•模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是4﹣5．【分析】先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可．【解答】解：由题意得：2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．故答案为：4﹣5．【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义．三．解答题（共24小题）17．（2016•夏津县自主招生）计算：．【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．【解答】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．18．（2015•）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式=3﹣1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．19．（2014•）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．20．（2012•）先化简，再求值：（﹣）•，其中x=．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•，当x=时，x+1＞0，可知=x+1，故原式=•===；【点评】本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时得出=x+1，此题难度不大．21．（2015•）计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、22．（2014•）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；（2）原式=[﹣]•=（﹣）•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．23．（2016•模拟）计算：．【分析】根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算．【解答】解：原式=3﹣1﹣4+2=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用．24．（2015•）计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．【解答】解：（+）×=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．25．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=m2+3n2，b=2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+ 2=（1 + 1）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．26．（2015•黄冈模拟）先化简，再求值：，其中．【分析】首先将括号的式子进行通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化简即可．【解答】解：====；当x=﹣3时，原式==．【点评】此题是典型的“化简求值”类问题，解题的关键在于化简，应熟练掌握分式混合运算的解题方法．27．（2016•）计算：（1）|﹣2|﹣（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】（1）根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算；（2）利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式=2﹣3=﹣1；（2）原式=9﹣7+2﹣2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．28．（2015春•校级月考）已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．【分析】首先化简x与y，可得：x=（）2=2n+1﹣2，y=2n+1+2，所以x+y=4n+2，xy=1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．【解答】解：化简x与y得：x=，y=，∴x+y=4n+2，xy=1，∴将xy=1代入方程，化简得：x2+y2=98，∴（x+y）2=x2+y2+2xy=98+2×1=100，∴x+y=10．∴4n+2=10，解得n=2．【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．29．（2016•三模）先化简，再求值：，其中a=+1．【分析】首先把写成，然后约去公因式（a+1），再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算．【解答】解：，=，=，=，当时，原式==．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的通分和约分，本题难度不大．30．（2016春•乐业县期末）．【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=4+3﹣2+4，=7+2．【点评】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式、二次根式的加减法则等知识点的应用，能运用法则进行计算是解此题的关键，主要培养了学生的计算能力．31．（2014•襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．【分析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．【解答】解：∵x=1﹣，y=1+，∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，xy=（1﹣）（1+）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）=7+4．【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．32．（2015春•饶平县期末）先化简，再求值：•，其中．【分析】求出a的值，化简=|a﹣2|=2﹣a，在计算乘法得出﹣a+，再代入求出即可．【解答】解：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣＜0，∴a•+=a（2﹣a）•+=﹣a+=﹣（2﹣）+=﹣2++2+=2．【点评】本题考查了二次根式的性质化简和分母有理化的应用，关键是正确进行化简，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．33．（2004•）已知：a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得a+b=10，ab=1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得a+b=10，ab=1，∴===．【点评】本题关键是先求出a+b、ab的值，再将被开方数变形，整体代值．34．（2016•校级自主招生）计算：【分析】观察式子，可以先将括号的化简，能合并的要合并，然后再用分配律相乘．【解答】解：，=，=．【点评】在二次根式的混合运算中，要灵活选择运算方法．35．（2015秋•校级期末）已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．【分析】先根据已知条件确定a，b的符号，再把代数式化简把已知代入求值．【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=1，∴a＜0，b＜0，∴原式=+=﹣（+）=﹣=5．【点评】先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．36．（2016•崇明县二模）计算：．【分析】分别依据分数指数幂、完全平方公式、负整数指数幂、分母有理化化简各式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算顺序是解题的根本，准确运算分数指数幂、负整数指数幂、完全平方公式及分母有理化等是解题的关键．37．（2015•昆山市一模）计算（1）（2）．【分析】（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．【解答】解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．38．（2015•宝应县校级模拟）计算：+（﹣1）+（）0．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项去括号，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2+﹣1+1=3．【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．39．（2014•）计算：（1﹣）++（）﹣1．【分析】分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并．【解答】解：原式=﹣3+2+3=3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．40．（2014•）（1）计算：（2014﹣）0+|3﹣|﹣；（2）化简：（1﹣）÷（﹣2）【分析】（1）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+2﹣3﹣2，然后合并即可；（2）先把前面括号通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=1+2﹣3﹣2=﹣2；（2）原式=÷=•=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分式的混合运算．。