(5)
这里的自变量是函数 x(t ) ，称为泛函的宗量。
21
第4章 最优控制与变分法 2. 宗量的变分
x(t )
泛函宗量的变分是指两函数之差， 即
x(t ) x(t ) x* (t )
x(t )
x(t)
(6)
0
x*(t)
这里 x(t )和 x* (t ) 是属于同一函数类 x(t ) 中两个不同的函数。
的容许函数中选择一个最优函数 x(t ) ，使泛函
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
(4)
取极值。
18
第4章 最优控制与变分法
固定端点的变分问题 变量是标 量的情况 无约束变 分问题 变量是向 量的情况 自由端点的变分问题 变动端点的变分问题
19
第4章 最优控制与变分法 固定端点条件
零阶接近度：如果对于定义域的一切t有
x(t ) x* (t )
(8)
成立，其中 是一个很小的正数，则称函数 x(t ) 和
x* (t ) 具有零阶接近度。
一阶接近度：如果对于定义域的一切t有
（4-1）
（4-2a） （4-2b）
4
x1 (t f ) x1 f 0 终止条件：x (t f ) x2 (t f ) x2 f 0
xf
第4章 最优控制与变分法 控制约束： |u(t)|≤k （4-3）
(t f 待求)
性能指标： J dt t t f 0
t0
tf
（4-4）
问题归结为：在满足式（ 4-3）的控制集{u(t)}中， 寻找最优控制策略u*(t)，使系统(4-1)从初始状态
式（4-2a）转移到终止状态式（4-2b）且使过渡
时间最短，即使式（4-4）最小。 一个最优控制问题的数学描述有三个基本部分：
动态系统的数学模型、系统变量所受的约束（条
件）、系统的性能指标。
第4章 最优控制与变分法
第4章 最优控制与变分法
动态最优化问题习惯上又称为最优控制问题，这类 问题就是在给定的条件下，寻求使给定的系统性能指标 取得极值的最优控制规律。在动态最优控制中，系统的 性能指标是以泛函（在数学上，称自变量是函数的函数 为泛函）的形式给出的（这是其与静态最优化问题的区 别），所以求解动态最优化问题就归结为求泛函极值问 题。解动态最优化问题通常采用变分法、最小（大）值 原理和动态规划等方法。本章主要讨论用经典变分法求 解一些简单的最优控制问题，对于较复杂的最优控制问 题需采用现代变分法（如最小值原理）来处理。
5
第4章 最优控制与变分法
4.1.1 动态系统的数学模型
被控对象的运动规律的数学描述就是动态系统的数 学模型，它反映了动态系统在运动过程中所应遵循的物 理规律或化学规律。在最优控制中，常用一阶微分方程 组（即状态空间描述）来描述动态系统的运动规律。 一个n阶系统的状态方程为：
x = f ( x, u, t )
图1 宗量的变分
t
若 x(t ) 和 x* (t )是可微的，则宗量变分的导数为：
d d * * x ( t ) x ( t ) x ( t ) x ( t ) x (t ) x(t ) dt dt
(7)
22
第4章 最优控制与变分法 3. 宗量函数的接近度
6
第4章 最优控制与变分法
4.1.2 系统变量所受的约束（条件）
约束条件可以分为端点约束和过程约束两大类： 1、端点约束 设t0是起始时刻，tf 是终端时刻。在t = t0和t = tf 时，系统变量应满足的约束条件称为端点约束。 端点约束包括起点约束和终点约束。 2、过程约束 在整个控制作用时间段 [t0, tf ]上，系统变量需 满足的约束条件称为过程约束。针对状态变量的 过程约束称为状态约束，针对控制变量的过程约 束称为控制约束。 7
13
第4章 最优控制与变分法
二、最优控制问题的表述
一般最优控制问题可以描述为：对由x = f ( x, u, t )
所描述的系统，在给定的容许控制集合U中选择一
个容许控制u(t)，使得 x = f ( x, u, t ) 的解x(t)是满足
所有端点约束和状态约束的容许轨线，并使得与容 许对u(t)，x(t)相对应的性能指标取得极值。
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
20
第4章 最优控制与变分法
4.2.1 固定端点的变分问题
一、基础知识
1. 泛函的定义 设对自变量t，存在一类函数 x(t ) 。如果对于
每个函数 x(t ) ，有一个J值与之对应，则变量J称为
依赖于函数 x(t )的泛函，记作
J J [ x(t )]
条件；若对整个时间区间[t0, பைடு நூலகம்f ]都成立，那就是过
程约束。
8
第4章 最优控制与变分法 4、基本概念
(1)状态轨线：系统从初始状态转移到终点状态的过 程中，在状态空间留下的运动轨迹。 (2) 容许轨线：满足状态方程 (4-6) ，且满足所有端点 约束和状态约束的状态轨线x(t)称为容许轨线。 (3)容许控制：满足所有控制约束的控制向量 u(t)称为 容许控制，所有容许控制构成的集合称为容许控制集， 用U表示。 (4)容许对：如果容许控制 u(t)代入状态方程 (4-6)所得 到的解x(t)是一容许轨线，则称x(t)，u(t) 为一容许对。 显然，如果u*(t)为问题的最优控制解， x*(t)为对应的 最优轨线，则u*(t)和 x*(t)必定是一个容许对。 9
第4章 最优控制与变分法 3、约束条件的数学描述 一般约束条件可用如下的等式约束方程或
不等式约束方程来描述：
g ( x,u, t ) 0 h( x,u, t ) 0
（4-7） （4-8）
T
式中： g g1
g2
gg ; h h1
h2
hh
T
当式(4-7)，(4-8)对t = t0和t = tf 成立时，是端点
（4-6）
f1 ( x, u, t ) f ( x, u, t ) f ( x , u, t ) 2 f ( x , u , t ) n
其中：
x1 (t ) u1 (t ) x (t ) u (t ) x (t ) 2 , u(t ) 2 , x ( t ) u ( t ) n m
本节课的主要研究内容？
研究不同边界条件下的无约束条件变分问题。
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第4章 最优控制与变分法 古典变分法研究的典型问题 无约束条件变分问题
在满足 约束条件
g[ x(t ), x(t ), t ] 0
(1) (2) (3)
和 边界条件
m[ x(t0 ), t0 ] 0
n[ x(t f ), t f ] 0
3
第4章 最优控制与变分法
解：设 x(t) 为 M 的质心距离地面的高度，由牛顿第
二定律直接得： x(t ) u(t ) g (t )
令：x1 x, x2 x ，问题的状态空间描述为
x1 0 1 x1 0 x 0 0 x 1 (u g ) 2 2 x1 (t0 ) x10 初始条件： x (t0 ) x2 (t0 ) x20 x0
第4章 最优控制与变分法 3. 波尔扎(Bolza)问题
tf tf
既强调系统端点要求, 又重视系统过程要求
J ( x, t ) t ( x, u, t )dt
0
t0
（4-11）
性能指标如式(4-11)所示的问题称为波尔扎问 题。这是个复合型性能指标，既考虑到系统的端 点性能的要求，又要求运动过程中有良好的性能， 代表了更普遍的最优控制问题。 注：式(4-9)、(4-10)是式(4-11)的特例,通过一些简 单的数学处理方法,三种性能指标可以相互转换。
标准就是性能指标，又称为目标函数。所谓的最
优控制，就是性能指标意义下的最优，即最优控
制就是使性能指标取得最大值或最小值。
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第4章 最优控制与变分法
一、性能指标的三种形式
1. 迈耶(Mayer)问题
强调系统端点要 求
tf
0
J ( x, t) t
（4-9）
性能指标如式 (4-9) 所示的问题称为迈耶问题。 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态，而 不关心系统的运动过程，因此性能指标只是始端、 终端时刻和状态的一个函数。
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
(4-15)
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取极值。
第4章 最优控制与变分法
4.2
无约束条件的动态最优化问题
什么是无约束条件的动态最优化问题？
“ 无约束条件的动态最优化问题”就是指无形 如 g[ x(t ), x(t ), t ] 0 的约束条件的最优控制问题。
起始时刻t0、终止时刻tf 、起始状态 x(t0 ) 和终止状 态 x(t f )都是固定的，故固定边界条件记为：
x(t0 ) x0 x(t f ) x f
固定端点的变分问题
在满足固定端点条件
x(t0 ) x0
tf
x(t f ) x f
的容许函数中选择一个最优函数 x* (t ) ，使积分型泛函： 取得极值。
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第4章 最优控制与变分法 三、变分问题
在最优控制问题中，由于性能指标是以泛函的形式 给出的，所以求解最优控制问题就归结为求泛函极值问 题。而变分法是研究泛函极值的一种经典方法，一些简 单的(如无约束条件或带有等式约束 )的最优控制问题往 往可以归结为用变分法求泛函极值问题，即变分问题。 注：最优控制问题从控制角度处理问题，在叙述中突 出了控制函数的作用，而且把状态变量及其所遵循的 运动方程作为最优控制问题必不可少的内容。而变分 问题作为数学问题，脱离了问题原来的物理含义，叙 述中没有控制变量与状态变量的区分，因此把最优控 制问题中的运动方程看成是泛函自变量的一个约束。