习题十一稳恒磁场中的毕奥——萨伐尔定律一、选择题1、半径为1a 的载流圆形线圈与边长为2a 的正方形载流线圈中通有相同大小的电流，若两线圈中心的磁感应强度大小相同，则21:a a 为（ D ） A 、1:1B 、1:2πC 、4:2πD 、8:2π提示：圆电流中心的磁场：00122IIB Ra μμ==正方形中心的磁场为4段有限长直电流的磁场之和：()00012224cos cos 4(/2)22I I IB r a a μμθθπππ⎛=⋅+=+= ⎝⎭2、真空中作匀速直线运动的点电荷，在其周围空间产生的磁场随时间的变化为（ C ）A 、B的大小和方向都不变B 、B的大小和方向都在变C 、B的大小在变，方向不变 D 、B的大小不变，方向在变提示：由公式024r qv e B rμπ⨯=可知磁场的方向不变。

大小()3000222sin sin sin 444/sin qv qv qv B r dd μμμθθθπππθ=⋅=⋅=⋅， 其中 d 为考察点到速度所在直线的距离，不变，θ为速度和位置矢量的夹角，改变。

3、若将某载流线圈中的电流增加一倍，则由该线圈在空间任一点产生的磁场将（ C ）A 、B 的大小和方向都不变B 、B的大小和方向都在变C 、B的大小增加一倍，方向不变 D 、以上说法都不对，要视具体情形而定提示：由公式024rIdl e dB rμπ⨯=可知4、在毕奥——萨伐尔定律中，B d r l d、、三者的关系为（ D ）A 、B d r l d、、一定相互垂直 B 、l d 与B d r、垂直 C 、r与B d l d 、垂直D 、B d 与l d r、垂直提示：由公式024rIdl e dB rμπ⨯=可知二、填空题1、 边长为a 的正三角形线圈上通有I 的电流，则在线圈的中心的B =aIπμ290线圈中心的磁场为3段有限长直电流的磁场之和：()001293cos cos 342I IB r a μμθθππ=⋅+==⎭2、 带电量为q 的粒子在一半径为R 的圆形轨道上以0v 的速率匀速运动，则在圆周的垂直中心线上与圆心相距为d 处的B=)(42200d R v q +πμ提示：不可等效为圆电流，因要求的是瞬时值，而用等效圆电流算出的是在一个周期内的平均值。

（参考课件有关例题）3、 由半径为R平行导线组成图示形状，当导线中通有电流时，线圈中心O 处的B =RI πμ40提示：O 点磁场为四部分电流的磁场的合磁场。

其中从左边来的半无限长直电流在O 点的磁场为 0 。

（024rI d l e dB r μπ⨯=，Idl 和r e 的夹角为0）顺时针的1/4电流和逆时针的3/4电流的磁场反向，两部分电流的合磁场（设顺时针电流的磁场为正）：()00001333424288I I I I R R R R R R μμμμϕϕ⎛⎫∆∆⋅-⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭顺逆顺逆顺逆 0030838R R R R R R μμϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∆∆∆∆=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭顺顺顺顺 向右边去的半无限长直电流在O 点的磁场可用有限长直电流的磁场公式算出。

()()00012cos cos cos90cos 0444I I IB R R Rμμμθθπππ=+=+=三、计算题1、 一半径为R 的圆盘面上均匀分布有Q 的电量，若圆盘以ω的角速度绕圆盘面的垂直中心线作定轴转动，求在圆盘中心处产生的磁感应强度大小。

解：在圆盘面上取半径为 r , 宽度为 dr 的圆环微元，转动时形成等效圆电流。

由圆电流在其中心的磁场公式：200002(/)(2)2222/2u u u u Q dq Q R rdr dB dI dr r r T r Rωπππωπ==⋅=⋅=002022Ru Q u QB dr R Rωωππ==⎰2、 边长为a 的正方形线圈上通有I 的电流，求在其垂直中心线上，与中心相距为a 处的磁感应强度大小。

解：该磁场为4段有限长直电流的磁场之和。

单根导线形成的磁场：)12cos cos B θθ=+在与中垂轴垂直方向上的分量叠加抵消。

平行于中垂轴的分量叠加为4B ⎛⎫⎪=a=提示：本题够不上难题，但计算时须特别小心，否则极易出错！！！3、 将一根无限长直导线弯成如图形状，导线中通有I 的电流，计算圆心处的磁感应强度大小。

解：B B B B =++环直线1直线2()0001cos0cos150234422u I u Ir r r ππ=⋅++⋅⋅(00262u I uIr rπ-=+ （可参考课件有关例题）习题二十三稳恒磁场中的安培环路定理一、选择题1、内外半径分别为1R 和2R 的空心无限长圆柱形导体，通有电流I ，且在导体的横截面上均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系，定性分析如图（ B ）提示：1）12121212A B CD0cos cos0(2)lllllB dl Bdl Bdl Bdl B dl B r I θπμ⋅======⎰⎰⎰⎰⎰内0102201122221020,()2(),()22,()2r R r I I B r R R r R r r R R Ir R rμπμμππππππμπ⎧⋅<⎪⎪⎪==⋅⋅-<<⎨-⎪⎪>⎪⎩内 12201122221020,(),()2,()2r R u I r R R r R r R R u Ir R rππ⎧⎪<⎪-⎪=⋅<<⎨-⎪⎪>⎪⎩；（参考课件有关例题） 2）当1r R <时，0B =，可排除 C ；3）当12R r R <<时，令1r R →，则0B →，可排除 A 和 D 。

2、一截面是边长为a 2的正方形的无限长柱体的四条棱上都分别有相同大小的四个线电流I ，方向如图，则在柱体中心轴线处的磁感应强度大小为（ C ）A 、aIu B π02=B 、aIu B π220=C 、0=BD 、aIu B π0=提示：该磁场为4段无限长直电流的磁场之和，但方向相同的一对电流的磁场完全抵消。

3、在无限长载流直导线附近有一球面，当球面向长直导线靠近时，球面上各点的磁感应强度B 和球面的磁通量Φ为（ D ） A 、Φ增大，B 也增大 B 、Φ不变，B 也不变C 、Φ增大，B 不变D 、Φ不变，B 增大提示：1）0SB dS Φ=⋅=⎰（磁场的高斯定理）2）02IB rμπ=4、如图，两无限长平行放置的直导线A 、B 上分别载有电流I 1和I 2，电流方向相反，L 为绕导线B 的闭合回路，c B为环路上C 点的磁感应强度，当导线A 向左平行于导线B 远离时（ D ）A 、cB 减小，⎰⋅L l d B 减小 B 、c B不变，⎰⋅L l d B 不变 C 、c B 不变，⎰⋅L l d B 减小 D 、c B减小，⎰⋅Ll d B 不变提示：1）0l B dl I μ⋅=⎰ 内, I 内不变，l B dl ⋅⎰也不变；2）两电流在C 点的磁场同方向，相互加强。

电流I 1远离后，C 点磁场变小。

5、三个电流强度不同的电流I 1、I 2和I 3均穿过闭合环路L 所包围的面，当三个电流中的任意两个在环路内的位置互换，环路不变，则安培环路定理的表达式中（A ）A 、B变化，∑i I 不变B 、B变化，∑iI变化C 、B不变，∑i I 变化D 、B不变，∑i I 不变提示：1）B为三电流的磁场之和。

两电流位置互换后，B一般要改变。

二、填空题1、一段长为a 的直导线中载有电流I ，在该导线的垂直平分面上，有一个以导线为中心、以a 为半径的圆形环路L ，则对该环路而言，⎰⋅Ll d B特别提示：安培环路定理要求电流必须闭合！！！“无限长直线电流”可看成闭合电流，但本题电流为有限长，故不可用安培环路定理，而只能先用有限长直电流公式计算环路上的磁场，然后再作曲线积分。

()0012cos cos 44I I B r a μμθθππ=+==(2)2LB dl B a a ππ⋅===⎰2、在一无限长载有电流I 的直导线旁有一边长为a 的正方形线圈，线圈与直导线共面，且有一边与直导线平行。

直导线到线圈的近侧距离为a ，则通过该线圈平面的磁通量为π22ln 0Ia u 。

提示：1）磁场不均匀，不可用正方形中心的磁感应强度乘正方形的面积即BS Φ=计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是错误的）。

2）200ln 2cos 0()22a S S S a I u Ia B dS BdS BdS adr r μππΦ=⋅====⎰⎰⎰⎰（参考课件有关例题）3、在半径为R 、无限长载有电流I 的圆柱形导体内，电流均匀分布于导体的横截面上，在导体内取一矩形截面，矩形的一边为半径，一边沿中心轴线，如图；则通过该矩形截面的磁通量为π40ILu 。

提示：1）磁场不均匀，不可用正方形中心的磁感应强度乘正方形的面积即BS Φ=计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是错误的）。

2）200022()222Ir I B I r r r R Rμμμπππππ==⋅=内 3）0020cos 0()24R S S S Ir u IL B dS BdS BdS Ldr R μππΦ=⋅====⎰⎰⎰⎰三、计算题1、 半径为R 1的圆柱形导体和内外半径分别为R 2和R 3的同轴圆筒形导体构成的同轴电缆，电流I 从柱形导体中流进，从圆筒形导体中流出，若电流是均匀地分布在导体的横截面上，计算空间各处的磁感应强度。

解：由安培环路定理：0cos cos0(2)lllllB dl Bdl Bdl Bdl B dl B r I θπμ⋅======⎰⎰⎰⎰⎰ 内2012112022022322323,()2,()22(),()2(),()2I r r R r R I R r R I r B r I I r R R r R r R R I I r R r μπππμμππμπππμπ⎧⋅<⎪⎪⎪⋅<<⎪⎪==⎨⎡⎤⎪⋅--<<⎢⎥⎪-⎣⎦⎪⎪⋅->⎪⎩内012101222032322323,()2,()2,()20,()u Ir r R R u IR r R r u I R r R r R r R R r R πππ⎧<⎪⎪⎪<<⎪=⎨⎪-⋅<<⎪-⎪⎪>⎩（参考课件有关例题）2、截面是正方形的螺绕环上均匀密绕N和R 2，线圈中通有电流I 时，求螺绕环截面上的磁通量。

解：由安培环路定理，可得环中的磁感应强度为：rNIu B π20=（参考课件有关例题） 则截面上的磁通量为：()21021cos 02R S S S R u NI B dS BdS BdS R R dr r πΦ=⋅===-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰02121()ln 2u NI R R R R π-=习题十三磁场对电流和带电粒子的作用一、选择题1A1、如图所示，三条长度相同的长直导线共面平行放置，依次载有电流为1A 、2A 、3A ，由于磁力相互作用，分别受力为1F 、2F 、3F。