第一章质点运动学1、( 习题： 一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x = 2t, y = 4 t 2 8 。

（ 1）求质点的轨道方程；（ 2）求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。

解：（ 1）由 x=2t 得，y=4t 2-8（ 2）质点的位置 ：r r由 v d r / dt 则速度： rr由 a d v / d t 则加速度： 则当 t=1s 时，有rr可得： y=x 2-8r 即轨道曲线 rr(4t 2r2ti 8) jrrrv2i8tjrra8 jr r r rr r r 2i 4 j , v 2i 8 j , a 8 j当 t=2s 时，有rr r r rr r r r 4i 8 j , v 2i 16j , a 8 j2、（习题）： 质点沿 x 在轴正向运动，加速度 akv ， k 为常数．设从原点出发时速度为v 0 ，求运动方程 xx(t) .解：dv kvv 1 tkdtv v 0 e ktdtdvv 0 vdx v 0e k tx dxt ktdtxv 0(1 ekt)dtv 0 ek3、一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a 4 t (SI) ，已知 t 0 时，质点位于x 10 m处，初速度 v 0 ．试求其位置和时间的关系式．解： a d v /d t4 td v4 t d tv t4t d tv 2 t2dvd x2xt 232xtd tx2 tv/d tt /3+10 (SI)x 04、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 0 水平抛出，求：（ 1）小球的运动方程；（ 2）小球在落地之前的轨迹方程；v v（ 3）落地前瞬时小球的dr ， dv ， dv.dt dt dt解：（ 1） xv 0 t式（ 1）y1 gt2 式（ 2）vv1 2vhr (t )v 0t i(h -gt ) j22（ 2）联立式（ 1）、式（ 2）得y h2gx22v 0vv vvv v（ 3）dr2hdr v 0i - gt j 而落地所用时间t所以v 0i -2gh jdtgdtvvdvg 2 tg 2ghdvv2 2 2 ( gt ) 2dtg jv x v yv 0dt2212( gt ) ] 22gh)[v 0 ( v 01 25、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为v 2vv ，式中 r 的单位为 m ， 的单位为 s .rt i2tjt 求：（ 1）任一时刻的速度和加速度； （ 2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

vvv vv vvdrdv解： 1） vd t2ti 2 jadt2i2 ） v [(2 t )21 2( t 214]21) 2a t d v2ta na 2a t 221d tt 2 1t 2第二章质点动力学1、 ( 牛顿定律 ) 质量为 M 的气球以加速度 a 匀加速上升，突然一只质量为 m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。

若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？r解： f 为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图（ a ）、(b) 可得：F Mg MaF (M m)g( M m) a 1则MamgV m(ag )a 1a a 1m M , aMm2、 ( 牛顿定律 ) 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．证：设两个摆的摆线长度分别为 l 1 和 l 2 ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1和2 ，摆线中的张力分别为 F 1 和 F 2 ，则F 1 cos 1 m 1 g①F 1 sin1m 1v 12/(l 1 sin1 )②解得：v 1 sin 1gl 1 / cos 1第一只摆的周期为mm12T 12 l 1 sin12l 1 cos 1v 1g同理可得第二只摆的周期T 2 2l 2 cos2g由已知条件知 l 1 cos 1 l 2 cos2∴ T 1T 2习题—习题一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t / 3 ，子弹从枪口射出时的速率为300m/s 。

设子弹离开枪口处合力刚好为零。

求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ；（ 3）子弹的质量。

解：（1）由F400 4105 t / 3 和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到： F400 4 10 5 t / 30算出 t= 。

（2）由冲量定义：33（5） 5 23 I0Fdt04400t/ 3 040010 t / 3 dt 2 10 t （3）由动量定理：I3P mv0.6N ? sFdt所以： m0.6 / 3000.002kg 习题质量为 M＝1.5 kg的物体，用一根长为 l＝的细绳悬挂在天花板上．今有一质量1.25 m为 m＝10 g 的子弹以 v0＝ 500 m/s 的水平速度射穿物0.6N sl体，刚穿出物体时子弹的速度大小v 0v v ＝30 m/s，设穿mM透时间极短．求：(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；习题图(2)子弹在穿透过程中所受的冲量．解： (1) 取子弹与物体为研究对象，子弹前进方向为x 轴正向，因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v有mv0=mv M v+v m v0v)/M== ( 3.13 m/s2T =Mg+Mv l =N/(2) f t mv mv 0 4.7 N s (设 v 0方向为正方向)负号表示冲量方向与v 0方向相反．习题一人从 10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高 1 m 要漏去 0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点．由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力 F 等于水桶的重量即：F P P0 ky mg 0.2gy 107.8 1.96 y人的拉力所作的功为：WH10dW F d y ＝(107.8 1.96 y)dy=980 J 00习题如图所示，质量 m为 kg的木块，在一个水平面上和一个劲度系数 k 为 20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧k由原长压缩了 x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦m系数为，问在将要发生碰撞时木块的速率 v 为多少？习题图解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 f r x 1 kx2 1 mv222而 f r k mgv2 k gx kx 2木块开始碰撞弹簧时的速率为 5.83 m sm习题某弹簧不遵守胡克定律 .设施力 F，相应伸长为 x，力与伸长的关系为F＝＋（ SI ）求：(1)将弹簧从伸长 x1＝0.50 m 拉伸到伸长 x2＝ 1.00 m 时，外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到 x1＝0.50 m 时，物体的速率．解： (1)外力做的功1mv 2x1' d x x1F F d x W 31J2x2x2(2)设弹力为 F′2W1v m 5.34 ms习题两个质量分别为m1和 m2的木块 A、B ，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。

A 紧靠墙。

今用力推 B 块，使弹簧压缩 x0然后释放。

（已知 m1m ， m23m ）求：（1）释放后 A、 B 两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。

1m2 v21kx02习题图解：0222m2 v2 0（ m1m2） v所以 v 3x0k 43m（2）12121m2） v2计算可得： x1 2m2v2 0kx（ m1x022r r r23、 ( 变力作功、功率、质点的动能定理) 设F7i 6 j ( N ) （1）当一质点从原点运动到r r r r r r rr3i 4 j16k (m) 时，求F所作的功；（2）如果质点到r 处时需，试求 F 的平均功率；（ 3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。

rr rr=解：（ 1）A= F dr rrr rr r r-34(7i 6 j ) (dxi dyj dzk) =7dx6dy45J ，做负功0000A45r r r4r（ 3）E k A mgdy = -85J （ 2）P75W mgj dr = -45+t0.6004、（机械能守恒、动量守恒）如图所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m 小物体，从高 H 处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。

设m 所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（ 1） m到达 C 点瞬间的速度；（2） m离开 C 点的速度；（ 3） m在 C 点的动量损失。

解：（ 1）由机械能守恒有mgH 1mv c2 2带入数据得v c2gH ，方向沿AC方向（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以mv c cosmv ，得v2gH cos，方向沿 CD方向（3）由于受到竖直的冲力作用，m在 C点损失的动量p m2gH sin，方向竖直向下。

第三章刚体的运动书：用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为的飞轮支承在点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动，记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。

试写出它的计算式。

（假设轴承间无摩擦解：如习题 (b) 图 , 对飞轮而言，根据转动定律，有F T R J（1）对重物而言，由牛顿定律，有mg F T'ma F 'T F T（2）由于绳子不可伸长，因此，有a R（3）重物作匀加速下落，则有h 1 at2（ 4）2由上述各式可解得飞轮的转动惯量为J mR2 ( gt21)2hOF TF T'mmg习题 (b) 图如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 2m 和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr 2 / 2 ，将由两个定滑轮以及质量为2m 和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图2mg T22ma（1）T1mg ma（2）(T2T )r J（3）习题图(T T1) r J（4）a r（ 5）联立a 1g ，T11 mg 48有一质量为 m1、长为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。