ˆ
8.1.1 弹性参量
1. 应力
o
dF
ˆ n dS
应力——作用于物体内单位面积上的弹性力。平衡状态的 任意形状的介质内任一点处的应力矢量T 定义为
dF T dS
应力矢量T和法线矢量n的方向不一定相同，要全面描 述介质中的应力状态，就应该知道通过每一点的任意截 面上的应力，所以一般在该点附近取一个无限小的体积 元，只要求出六个面上的应力，就可以知道通过该点任 意截面上的应力
高聚物的力学性质随时间发生的变化通称为力学松弛，包 括蠕变和应力松弛 蠕变描述的是在一定的温度和应力作用下，高聚物的形变 随时间的变化 在温度和形变不变的情况下，高聚物内部的应力会逐渐衰 减——应力松弛
8.2 阻尼与阻尼材料
自由振动的固体，即使与外界完全隔离，它的机械能也会 转化成热能，从而使振动停止，要维持振动，则必须不断 供给外部能量。由于固体内部原因使机械能消耗的现象— —阻尼或内耗
橡胶的拉伸使交联点间的分子线段变直，但基本上不影响 分子中的原子间距 将弯曲的分子线团拉直，导致分子线段的位形熵减小，有 序度增加，因而外力的作功会使熵减小，从而增大了自由 能 橡胶作弹性形变导致了有序度的增加，x射线衍射实验也 证实了这一点。有迹象表明，形变会导致结晶化 区分材料弹性特征的参数有两个，弹性模量和相对变形的 量
磁性材料有一种重要的阻尼产生机理——由磁弹效应产 生迟滞耗能
铁磁材料由众多的磁饱和单元体构成，单元体或磁饱和 区与邻区之间形成边界。交变应力产生的交变应力场使 各单元体产生转 动，并使边界之间产生相对运动。磁场 或应力场会使磁饱和单元体产生磁致伸缩现象，加剧了 各单元体之间的相对运动 维持上述两种运动，必须有能量输入，其中一部分能量 不可逆，使机械能转变成热能并耗散于环境中，从而产 生阻尼
3. 弹性模量 只有理想弹性体应力和应变之间才有最简单的线性关系。 对一般物体，在弹性范围内，作为一级近似，特别是在小 形变时，应力与应变满足广义虎克定律
s ij cijkl ekl
k ,l
cijkl构成一个四阶张量——弹性模量张量，又称弹性刚量 张量。 它表征材料抵抗形变能力（即刚度）的大小。c越 大，越不容易变形，表示材料的刚度越大 cijkl=cjikl=cijlk=cjilk，弹性模量张量81个分量只有21个独立分 量。晶体对称性不同，独立分量数也不同：三斜18个，单 斜12个，正交9个，四方和菱面体6个，六角5个，立方3个， 各向同性2个
0 1 u y u x wij ( ) 2 x y 1 u u ( z - x) 2 x z
1 ux u y 1 ux uz ( + ) ( ) 2 y x 2 z x u y 1 u y uz ( ) y 2 z y 1 uz u y uz ( + ) 2 y z z
sij=sji
表明应力张量是对称张量，只有6个独立分量，即3个正 应力3个切应力
2. 应变
应变是用来描述固体在应力作用下内部各点相互位置改变 的参量。介质中任意一点形变前后的位置可以用矢径矢量 r和r’来表示，变化的位移矢量是位置的函数 u=r-r’
相邻两点之间的相对位移du为
du ( u u u ux u u u u u dx x dy x dz )i ( y dx y dy y dz ) j ( z dx z dy z dz )k x y z x y z x y z
系统内能的增加引起自由能的增加导致了常规弹性的产 生 系统熵的减小引起的自由能的增加是高弹性产生的根本 原因
一维柔性长链分子一端到另一端的距离为R，配分函数 为P(R)， P(R)具有正态高斯分布形式
P( R)dR Ae
b2 R 2
dR
b 2 R '2
S k B ln P( R ) k B ln P( R) k B ln Ae
8.2.1 材料阻尼的产生机理
材料会因应力或交变应力的作用，产生分子或晶界之间的 位错运动、塑性滑移、或其他原因耗损能量产生阻尼 在低应力状况下，由金属的微观运动产生的阻尼耗能—— 滞弹性 应变滞后于应力， ABCDA 回线为迟 滞回线。阻尼耗能量的值正比于回线 面积。滞弹性与应力幅值及疲劳周期 无关，与频率和温度相关 高应力时，产生局部塑性应变，成为 产生阻尼的主要原因。金属材料的阻 尼在应力变化过程中不为常值，在高 应力或大振幅时呈现较大的阻尼
1 u x u y 1 u x u z ( ) ( ) 2 y x 2 z x 1 u y u z 0 ( ) 2 z y 1 u z u y ( ) 0 2 y z
相对位移∑wijdxj使介质内相邻两点间的距离和夹角保持不 变，张量w称为转动张量；相对位移∑eijdxj则使体元的形 状与大小均发生变化，对称张量e称为应变张量，i =j的分 量为正应变分量，i≠j的分量为切应变分量
形变张量b是非对称的，分解为对称张量和非对称张量 之和，即bij=eij+wij u u u 其中
1 ui u j eij ( ) e ji 2 x j xi u 1 ui wij ( j ) w ji 2 x j xi
8.1.2 常规弹性的物理本质
固体作弹性拉伸时，其原子间距增大，因而外力对抗了原 子间作用力作了功，导致内能U增加，从而使自由能增大。 因此常规弹性来源于内能增加引起的自由能增加 两个固体原子之间相互作用的Lennard-Jones势为
pq 1 a0 p 1 a0 q (r ) b[ ( ) ( ) ] pq p r q r
耗损的能量与机械振动能量的比值——损耗因子 系统阻尼：在系统中设置专用阻尼减振器，如减振弹簧、 冲击阻尼器等 结构阻尼：在系统的某一振动结构上，附加材料或形成附 加结构，增加系统自身的阻尼能力，包括接合 面阻尼、库仑摩擦阻尼和复合结构阻尼等 材料阻尼：依靠材料本身所具有的高阻尼特性达到减振降 噪的目的
应力T用分量形式表示为
Tx s xx i s yx j s zx k Ty s xy i s yy j s zy k Tz s xz i s yz j s zz k
sxy表示Ty的x分量，sij构成了应力张量s，i=j的是正应力 分量，i≠j是切应力分量 T=s×n
'
k B ln Ae
b2 R2
k Bb 2 ( R '2 R 2 )
F H - T S k BTb 2 ( R '2 - R 2 )
S f T * Rx
在形变初期，曲线与高斯链 (GC)模型的结果大体吻合 自由连接链 （FJC）模型将 长链分子视为用枢点连接起 来的一段段刚性短棒。其结 果与实验在中形变区吻合得 很好 假设枢点连续分布在链上， 就得到了蠕虫链(WLC)模型， 该模型在大形变区域能很好 的说明实验结果
弹性模量的测定方法 静态法 测量应力-应变曲线(弹性变形区)，然后根据曲线计算弹 性模量。不足之处：载荷大小、加载速度等都影响测试结 果。在高温测试时，由于金属材料的蠕变现象降低了弹性 模量值．对脆性材料，静态法也遇到极大的困难 动态法 加载频率很高，可认为是瞬时加载，试样与周围的热交换 来不及进行，即几乎是在绝热条件下测定的。动态法测弹 性模量较精确，试样承受极小的交变应力，试样的相对变 形甚小，用动态法测定E、G对在高温和交变复杂负荷条 件下工作的金属零件、部件尤其重要
8.1.4 黏弹性 任何物体均同时具有弹性和黏性两种性质，根据外加条件 不同，或主要显示弹性或主要显示黏性 弹性体和黏性体的区别：在外力作用下的形变与时间依赖 关系不同 理想弹性体的形变与应力作用时间无关 理想粘性体的形变与应力作用时间呈线性关系
高分子材料则处于二者之间，具有黏弹性。黏弹性是高聚 物材料的一个重要特性。当温度超过流动转变温度下Tf时， 线性高聚物就开始熔融，变为流动态。这时所形成的熔体 不但会像牛顿流体那样表现出黏性流动，还会呈现出相当 明显的弹性行为。
各向同性介质有三种弹性模量：杨氏模量E、切变模量m、 体积模量B
E
s F A0
l l0
F m A0 tan
B PV0 P V V V0
对于各向同性材料，存在如下关系
E 2m (1 ) 3B(1 2 ) A A0 l l l
高分子聚合物的分子之间很容易产生相对运动，分子内部 的化学单元也能自由旋转。受到外力时，曲折状的分子链 会产生拉伸，扭曲等变形 分子之间的链段会产生相对滑移、扭转
外力除去后，变形的分子链要恢复原位，分子之间的相对 运动也会部分复原，释放外力所做的功，这就是高分子材 料的弹性，但分子链段间的滑移，扭转不能完全复原，产 生了永久性的变形，这就是高分子材料的粘性。这一部分 所做的功转变为热能，耗散于周围环境中，这就是高分子 材料产生阻尼的原因
8.1 弹性与广义弹性 8.2 阻尼与阻尼材料
8.1 弹性与广义弹性
弹性模量（E）是材料最常用Fra bibliotek力学性质之一，它描述 应力与应变之间的比例关系。不同的弹性行为是由其基 本结构决定
金属、陶瓷——晶体结构、缺陷
高分子材料——分子链构型、交联、缠绕
OA弹性区：应力-应变满足 虎克定律；其比例系 数定 义为弹性模量，外力释放 后，材料的变形能够恢复 原来的状态 AB屈服变形 BC塑性变形区：应力应变 间不一定满足正比关系， sp—比例极限；ss—屈服强度； 其特征系数远小于E，外力 释放之后，恢复不到初始 sb —抗拉强度； 材料的长度
x x u y bij x u z x
x
y u y y u z y
z u y z u z z