7.7 材料滞弹性及内耗
（1）弹性后效
t

0,
0




0
MR
又t 0时， 0
(t)

0
MR
(0

0
MR
t
)e
t 时
t 时
(t) 0 MR
(t ) () [0 ()] / e
反映了恒应力作用下蠕变变过程的速

M
1 2 2
7.7 材料滞弹性及内耗
由：
Q1

M
1
2
2
可见：与振幅无关，w=1时有极大值：
(1) 振动周期远小于驰豫时间，接近于完全弹性体
(2) 扰动周期远大于驰豫时间
(3) 为中间值，应力－应变为一椭圆，其面积为内耗，
7.7 材料滞弹性及内耗
驰豫谱：
由于金属及合金中驰豫过程由不同的原因引起，不同过程有不同 的驰豫时间t，且是材料常数, Q-1与有一系列不同的峰。
弛豫模量 M R / 0 未弛豫模量
Mu / MR /
Mu 0 /0
7.7 材料滞弹性及内耗
（3）模量亏损：
Et 0 /(0 t)
对于单向快速加载，应变来不及弛豫。
t , E
E Mu 0 /0
对于单向慢速加载，应变来得及充分进行
设对物体施加一小力，使之振动 震动一周损t )
这时才有损耗
2
W
d 0
00 sin td sin(t ) 00 sin
7.7 材料滞弹性及内耗
3. 内耗
总能
W

1 2

0
0
Q1 W sin tan 2W
M

Mu MR MuMR
为弛豫强度
M 为动模量
由虚部有
Q 1 tan
1 2
及
Mu MR
整理后得到：
( M u M R )
Q1
MM (1 2 )
Q 1

Mu MR
M ()
1 2 2
第七章材料弹性性能
固体中任一点的应力状态，可用6个应力分量表示，即σxx、σyy、σzz和剪应力τxy、τyz、τzx 应力分量σ,τ的下标第一个字母表示应力作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用的方向。 正应力：方向与作用面垂直, 切应力：方向与作用面平行 法向应力：拉应力为正，压应力负
剪应力分量：如果体积元任一面上的法向应力与坐标轴的正方向相同，则该面上的剪应力指向坐 标轴的正方向者为正；如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪应力指向坐标轴的负 方向者为正。
2
(1 2
)
1
i
1 2


实部有
M


MR 1 2
2
(1
2
)

Mu

Mu MR 1 2 2
7.7 材料滞弹性及内耗
注： 金属
Mu M R M 为模量亏损
较低的温度下： 2）弹性模量温度系数：
与热膨胀系数之间有：
7.3 弹性模量的影响因素
2 相变对弹性模量的影响
例：对于Co 480℃ Co(六方晶系) Co(，立方晶系) 这样，冷却时出现 E 减小的现象 对于Fe 910 ℃ 相 加热时E 冷却时E Ni则与磁性转变有关。
7.3 弹性模量的影响因素
7.1 胡克定律及弹性的表征
1. 胡克定律：
1）弹性：物体在外力作用下改变其形状及大小，外力卸除后又可回复
到原始形状及大小的特征。 单向拉伸实验证明，应力与应变之间具有线性关系，Hooke定律：
E
E：称为弹性模量或杨氏模量 在单向切变条件下：
G
G为切变模量
7.1 胡克定律及弹性的表征
法向应力导致材料的伸长或缩短；
剪应力引起材料的剪切畸
一点的应力状态可由六个应力分量来决定，一点的应 变状态也由与应力分量对应的六个应变分量来决 定，即即三个剪应变分量γxy、γyz、γzx及三个伸长 应变分量εxx、εyy、εzz。对于法向应力分量及单位 伸长应变分量也可以省去一个下标，写成σx、σy、 σz以及εx、εy、εz。
7.2 弹性与原子间结合力等物理量的关系
2. 与德拜特征温度：
弹性模量主要取决于原子间的结合能力，材料的弹性模数是构成材料的离子或分子之 间键合强度的主要标志。不同材料弹性模量的数据差别很大，这主要是由于各种材料具有 不同的结合键和键能。
德拜温度同晶体的振动有关，温度越高，其原子间结合力就越强。 弹性模量也表征晶体原子间结合力的强弱，通过弹性波传播速度，联系：
N 阿佛加德罗常数 A 相对质量 ρ密度 C 弹性波的速度
7.2 弹性与原子间结合力等物理量的关系
3. 与熔点：
材料熔点高低反映其原子间结合力的大小。 300K以下时有：
Va: 原子体积 Tm: 熔点 ρ密度 C 弹性波的速度
7.3 弹性模量的影响因素
1. 温度：
1） 温度升高，原子间距增大，相互作用力减小，E降低 较高的温度下：
3 固溶体材料的弹性模量
（1）完全互溶时，一般呈线性变化，E作为原子浓度的函数 Cu-Ni, Cu-Au, Ag-Cu等。 对于过渡族金属，则存在意外。
（2） 对于有限固溶体，溶质作用体现于 （a）溶质导致点阵畸变 E （b）阻碍位错运动的弯曲 E （c）如果 E溶质>E溶剂 ，E
① 原子浓度； ② 价位差平方； ③ 原子半径差；
原子，其在固溶体中无规则分布，为无 序分布。由于应力引起的原子偏离无规 则状态分布，从而感生应力有序分布。
C原子在棱边上或面心处。 （1/2, 0, 0 ) （0 , 1/2, 0) （ 0, 0，1/2）（1/2, 1/2, 0)
应变条件下，原子来回跳跃，能量损耗。
度
7.7 材料滞弹性及内耗
（2）应力驰豫
应变不变，应力随时间延长而下降


t 0, 0, 0 M R0
又 t 0, 0
t
(t) M R0 (0 M R0 )e
对弹性材料加载速度快（绝热条件）
对弹性材料加载速度慢（等温加载）
E M R 0 /(0 t)
M R 完全弛豫模量，又称为恒温下的弹性模量。
E 为动力弹性模量
Mm E Mk
Mu MR
M m E E 模量亏损:表征材料因滞弹性而引起E下降
E
E
7.7 材料滞弹性及内耗
3. 内耗
定义：由于固体内部原因而使机械能消耗的现象为内耗或阻尼 样品的内耗Q-1定义为：
Q 为品质因子
1 (1'1")eit
1 滞弹应变
1" 对应损失部分，内耗
7.7 材料滞弹性及内耗
2. 分类：
线性滞弹性：只与加载频率有关 非线性滞弹性：与加载频率、振幅有关（来源于固体内部的缺陷及其相
互作用） 静滞后弹性内耗：只与振幅有关 阻尼共振型内耗：与线性滞弹性类似，只与频率有关，但内耗峰对温度
1 粘弹性及滞弹性:
(1) 粘性:
d η为粘度
dt
(2) 材料在小应力作用下表现出粘性和弹性为粘弹性
对比:与时间有关的弹性为滞弹性.
2 滞弹性:


M R ( )
MR: 弛豫模量 τe：等应变条件下弛豫时间；τα为等应力条件下弛豫时间
弹性范围内, 存在耗散能量因素（原子扩散、位错运动、畴运动） 应变与应力有关，还与时间有关。 表现形式： 大应力及低频条件：弹性后效；弹性模量亏损；弹性滞后；应力松弛。 小应力及高频条件：应力循环中外界能量的损耗：内耗，振幅对数衰减。
1. 胡克定律：
2）广义胡克定律：任一点的六个应力中每一个都是六个应变分量的线性函数。
简化为： Cij：刚度常数, Sij柔顺系数（弹性常数）
7.1 胡克定律及弹性的表征
1. 胡克定律：
3）任对于各向同性材料有：
7.1 胡克定律及弹性的表征
2. 弹性的表征：
1）定义： E 弹性模量 正应力与正应变之比，反应物体抵抗正应变的能力 G 切变模量 切应力与切应变之比，反应物体抵抗切应变的能力 μ 泊松比 反应在均匀分布的轴向力时，横向应变与轴向应变的绝对值比值 K 体积模量 体应力与体应变的比值
由于各向同性材料的弹性模量常量只有二个独立的，因此上述四个常量必然存在一定的关系：
刚度：引起单位应变的负荷为该零件的刚度，即
式中：S为零件的承载面积，F为零件应变所承受的载荷；ES为零件的刚度。
7.2 弹性与原子间结合力等物理量的关系
1. 与周期表的关系：
常温下弹性模量是元素序数的周期函数: 第三周期: Na, Mg, Al, Si E 随着原子序数一起增大，价电子增加，原子半径减小有关 同一簇： Be, Mg, Ga, Se, Ba 随原子序数的增加，E减小，原子半径增大 对于过渡族金属不适用，d层电子引起的原子间结合力较大作用力：
7.3 弹性模量的影响因素
4. 晶体结构
（1）具有方向性 多晶可以利用单晶的各个方向E值平均值求解 立方 Emax [111] Emin [100] Gmax [100] Gmin [111]
（2）多晶中存在 冷变形成再结晶织构 冷变形 （110）[112] 再结晶 [001] （100）
7.7 材料滞弹性及内耗
变化不敏感，常与位错的行为有关。
7.7 材料滞弹性及内耗
3. 驰豫型内耗（滞弹性内耗）