外文翻译：数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin译文正文：在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了.我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明.函数的极限4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ⊂，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或q x f p x =→)(lim （１）的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得ε<)),((q x f d Y （２）对于满足δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立．记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离．如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）．应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么q x f p x =→)(lim （４）当且仅当 q p f n n =∞→)(lim （５） 对于Ｅ中合于p p n ≠，p p n n =∞→lim （６） 的每个序列{}n p 成立．证 假定（４）成立，取Ｅ中满足（６）的{}n p ．给定了ε＞０，那么就有δ＞０，使得当E x ∈且δ<<),(0p x d X 时，ε<)),((q x f d Y ．同样又有Ｎ使得当ｎ＞Ｎ时，δ<<),(0p x d X ．这样，对于ｎ＞Ｎ，我们有ε<)),((q p f d n Y ．这就证明了（５）成立．反过来，假定（４）不成立．这时便有某一个ε＞０，使得对于每个δ＞０，都有点E x ∈（依赖于δ），对于这x 来说，ε≥)),((q x f d Y 但δ<<),(0p x d X ．取),3,2,1(,/1 ==n n n δ我们就在Ｅ中找到一个满足（６），但使（５）式不成立的序列． 推论 如果ｆ在ｐ有极限，那么这极限是惟一的．这可以由定理3.2（ｂ）及定理4.2推出来．4.3 定义 设有定义在Ｅ上的两个复函数f 和g ，我们用g f +表示一个函数，它给Ｅ的每个点x 配置的数是)()(x g x f +．我们用类似的方法定义两个函数的差g f -，积fg 及商g f /，约定商只定义在Ｅ的那些使.0)(上的点x x g ≠如果f 给Ｅ的每个点x 配置同一个数ｃ，那么f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作c f =．设f 和g 都是实函数，如果对于每个E x ∈来说)()(x g x f ≥，那么有时为了简便，就记作g f ≥． 类似地，如果f 和g 把Ｅ映入kR 内，便用 )()())((),()())((x g x f x g f x g x f x g f ⋅=⋅+=+来定义g f +及fg ；再若是λ是实数，便定义)())((x f x f λλ=．4.4 定理 如果X E ⊂，Ｘ是度量空间，ｐ是Ｅ的极限点，f 与g 是Ｅ上的复函数，而且lim (),x p f x A →= lim ()x pg x B →=那么（ａ）lim()(),x px g x A B →+=+ （ｂ）lim()(),x pfg x AB →= （ｃ）lim(/)()/,0.x pf g x A B B →=≠假定 证 依照定义４.３，这些论断可以从序列的类似性质（定理３.３）直接退出来． 评注 如果f 与g 将Ｅ映入k R 内，那么（ａ）仍然成立，而（ｂ）就要变为（b '） （参看定理３.４）连续函数４.５ 定义 设Ｘ与Ｙ是度量空间，,,E X p E ⊂∈并且f 将Ｅ映入Ｙ内，如果对于每一个0,ε>总存在0,δ>对于一切满足(,)X d x p δ<的点x E ∈来说，((),()),Y d f x f p ε<就说f 在p 连续．如果f 在Ｅ的每一点都连续，就说f 在Ｅ上连续．应该注意，要使f 在点p 连续，f 必须在点p 有定义．（这一点请与定义４.１后面的说明对比一下）．如果p 是Ｅ的一个孤立点，那么由我们的定义推知，每一个以Ｅ为定义域的函数都在点p 连续．因为，不管取的哪个0,ε>总可以选一个0,δ>使得满足(,)X d x p δ<的点x E ∈只有x p =；于是((),())0.Y d f x f p ε=<４.６定理 在定义４.５里所假定的情况下，再假定p 是Ｅ的极限点．那么，f 在p 点连续当且仅当lim ()()x pf x f p →= 证 只要将定义４.１和４.５对比一下就清楚了．现在我们转到函数的复合．下面定理的一种简述是：连续函数的连续函数是连续的． ４.７ 定理 设Ｘ,Ｙ,Ｚ是度量空间，E X ⊂，f 将Ｅ映入Ｙ内，g 将f 的值域()f E 映入Ｚ内，而h 是由()(())h xg f x =()x E ∈．定义的Ｅ到Ｚ的映射．如果f p E ∈在点连续，并且g 在点()f p 连续，那么h 在点p 连续．这个函数h 叫做f 和g 的复合函数或者f 和g 合成．记号h gf = 在本书中经常用．证 设0ε>已经给定．因为g 在()f p 连续，便有0η>使得当(,())Y d y f p η<和()y f E ∈有((),(()))Z d g y g f p ε<．又因为f 在点p 连续，那么存在着0δ>，使得当(,)X d x p δ<和x E ∈有((),())Y d f x f p η<．由此知道：当(,)X d x p δ<和x E ∈有((),())((()),(()))Z Z d h x h p d g f x g f p ε=<．所以h 在点p 连续．４.８定理 将度量空间Ｘ映入度量空间Ｙ内的映射f 在Ｘ上连续，当且仅当对于Ｙ的每一个开集Ｖ来说，1()f V -是Ｘ中的开集．（逆像的定义已见于定义２.２）这是连续性的一个极有用的一个特征．证 设f 在Ｘ上连续而Ｖ是Ｙ中开集．我们必须证明，1()f V -的每个点都是1()f V -的内点．设p X ∈，且()f p V ∈．由于Ｖ是开集，必定存在着0ε>,使得当((),)Y d f p y ε<有y V ∈，而由于f 在点p 连续，就又存在0δ>，使当(,)X d x p δ<有((),())Y d f x f p ε<.所以，只要(,)X d x p δ<就保证了1()x f V -∈.反之，设对于Ｙ中的每个开集Ｖ来说，1()f V -是Ｘ中的开集．固定了p X ∈与0ε>，令Ｖ满足(,())Y d y f p ε<的一切y Y ∈所成的集，那么Ｖ是开集，因而1()f V -是开集，因而存在着0δ>使得当(,)X d p x δ<有1()x f V -∈．然而一旦1()x f V -∈，便将要()f x V ∈，所以((),())Y d f x f p ε<．这就完成了定理的证明．推论 将度量空间Ｘ映入度量空间Ｙ内的映射f 是连续的，当且仅当对于Ｙ中的每个闭集Ｃ，1()f C - 是闭集．这由本定理即可推知．因为一个集是闭集，当且仅当它的余集是开集．然而对每个E Y ⊂，11()()c c f E f E --⎡⎤=⎣⎦．现在我们转到复值和向量值函数，以及定义在k R 的子集上的函数．４．９ 定理 设f 与g 是度量空间Ｘ上的复连续函数，那么g f +，fg 与g f /在Ｘ上连续．在最后的情形中，当然必须假定对于一切.0)(,≠∈x g X x证 在Ｘ的孤立点无需证明．在极限点，论断是定理４．４与定理４．６的直接结果． ４．１０ 定理（ａ）设k f f ,,1 是度量空间Ｘ上的实函数，并且ｆ是由ｆ))(,),(()(1x f x f x k = )(X x ∈ （７）定义而将Ｘ映入k R 内的映射．那么，ｆ连续当且仅当k f f f ,,21 都连续．（ｂ）如果ｆ与ｇ是将Ｘ映入k R 内的连续映射，那么ｆ＋ｇ与ｆ·ｇ都在Ｘ上连续． 函数k f f ,,1 叫做ｆ的分量．注意，ｆ＋ｇ是把Ｘ映入k R 内的映射，而ｆ·ｇ则是Ｘ上的实函数．证 部分（ａ）能由不等式)()()()(y x y f x f j j ｆｆ-≤-＝2112)()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=k i i j y f x f 推出来的，其中k j ,,2,1 =．部分（ｂ）是（ａ）与定理４．９的直接结果．４．１１ 例 如果k x x ,,1 是点k R x ∈的坐标．由i i x x =Φ)( )(k R x ∈ （８）定义的函数i Φ必然在k R 上连续，这因为不等式y x y x i i -≤Φ-Φ)()( 表示，我们可以在定义４．５中取εδ=．这些函数i Φ有时称为坐标函数．重复应用定理４．９可以证明每个单项式k nk n n x x x 2121 （９） 在k R 上连续，其中k n n ,,1 是非负的整数．因为常数显然是连续的，所以（９）式用常数乘后还连续．由此推知，每个由k k n k n n n x x c x P 111)(∑= )(k R x ∈ （１０）给出的多项式Ｐ在k R 上连续．这里系数k n n c 1是复数，k n n ,,1 是非负的整数，并且（１０）中的和只有有限多项．更进一步，k x x ,,1 的每个有理函数，即形式如（１０）的两个多项式的商，只要它的分母不为零，便在k R 上连续．从三角形不等式容易看出y x y x -≤- k R y x ∈, （11）x→是k R上的连续函数.所以，映射xR内的连续映射，并且Φ在X上由现在，如果f是一个由度量空间X映入kpｆΦ定义，那么，用定理4.7可以推知，Φ是X上的连续实函数.=(p)()4.12 评注我们定义了一个度量空间X的某个子集E上定义的函数的连续概念.然而，E 在X中的余集在这个定义中不起任何作用（注意，这情况同函数的极限有些不同）．因此，去掉f的定义域的余集我们毫不介意.这就是说，我们可以只谈度量空间映入另一度量空间内的连续映射，而不谈子集的映射.这样可以简化某些定理的叙述和证明.我们已经在定理4.8到4.10中应用了这个原理，并且在下边关于紧性的一节中还要这样做.。