第一章复习题 一.填空1、数集,...}2,1:)1({=-n nn的上确界为 1 ，下确界为 -1 。

2、 =∈-=E R x x x Esup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;3、)(lim 2n n n n -+∞→ = _______12________。

4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞→lim （有限）. 则有a = {}sup n a .5. 设,212,212212n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题１、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。

Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ）A 、 先给定ε后唯一确定δ;B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一;C 、 先给定δ后确定ε;D 、 δ与ε无关.3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1{2na ； B 、}1{an； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个；(C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ D ）(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞→lim ；(C) a x n n -=∞→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞→n n x lim ； (B) +∞=∞→n n x lim ；(C) -∞=∞→n n x lim ； (D) 存在}{n x 的一个子列}{k n x ，使得∞=∞→k n k x lim7.设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）(A) 收敛； (B) 发散；(C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。

8. {n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b nc ，则（ B ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；9. “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2||≤-a x n ”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）(A) 充分条件但非必要条件； (B) 必要条件但非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。

10. 设2sinπn n x n =，则数列}{n x 是 （ D ） (A) 收敛列； (B) 无穷大； (C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大三．写出下列各式精确的分析定义 1． lim n n a a →∞≠00000,0,,n N n N a a εε∃>∀>∃>-≥2．根据柯西准则叙述lim n n a →∞存在的充要条件0,0,,,n m N n m N a a εε∀>∃>∀>-<四．计算题1．)1(lim 33n n n -+∞→解：0n n →∞==2.22212lim()12n nn n n n→∞++++++解:因为22222(1)(1)1222121n n n n nn n n n n n n ++≤+++≤+++++ 22(1)(1)1limlim 2()2(1)2n n n n n n n n n →∞→∞++==++由敛迫原理得：222121lim()122n n n n n n →∞+++=+++3.312lim n nn→∞+++解：2212(1)1lim lim 22n n n n n n n →∞→∞++++==4.n 当2>n 时，11121<-<n ，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n.5.552221lim .1n n n n n →∞+--+ 解：5455245212221lim lim 21111n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-==-+-+ 6.21lim 1.4nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：12241211lim 1lim 144nn n n e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7.设0>a，}{n x 满足：,00>x 11(),0,1,2,2n n na x x n x +=+=证明：}{n x 收敛，并求。

n n x ∞→lim证明：此时有0>n x . 由均值不等式,对n ∀,有112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥=,数列}{n x 有下界. ()1221111122n n n x a ax x +⎛⎫⎛⎫⎪=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭, ⇒ n x 数列}{n x 递减.于是数列}{n x 递减有下界 . 由单调有界原理 , 数列}{n x 收敛 . 设x x n n =∞→lim ,应有x ≥. 对式112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两端取极限,得12a x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解得x =.由x ≥得lim n n x →∞=五．1.求数集{}22s x x =<的上、下确界，并依定义加以验证；解 2sup =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）.S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界. 2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S .2. 求函数[]() 1 2, 0 . 1nf x x n x ==∈（,）的上确界[])(sup 1.0x f x ∈解：[])(sup 1.0x f x ∈=11）[0,1]x ∀∈ () 1nf x x =≤2）01α∀<<， 取01x =，于是，01nx α<= 所以 [])(sup 1.0x f x ∈=1六.证明题1.用极限的定义证明235233lim 22=--+∞→n n n n 。

证明 因为 n n nn n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有ε<<--+nn n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n 2证明：若lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=. 当且仅当A 为何值时反之也成立？证明 设a a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N ε N n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n -.当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N ε N n >∀，ε<=||||n n a a ，所以a a n n =∞→lim .3．,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→且,b a <证明：存在N ，当n>N 时，有.n n b a <证明 1 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim ba b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2ba b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2.证明 2：,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→且,b a <则lim()<0n n n a b a b →∞-=-，由保号性定理，存在0N >，使得当n N >时有0n n a b -<即.n n b a <。