辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版） 1 / 16辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =4，AC =3，则cosA 的值是( )A. 45B. 35C. 54D. 43 【答案】B【解析】解：∵∠C =90∘，BC =4，AC =3，∴AB =√42+32=5，∴cosA =35， 故选：B ．首先利用勾股定理计算出斜边长，再根据锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 进行计算即可，此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义．2. 如图所示的工件，其俯视图是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B ．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是( )A. ∠ABD =∠ACBB. ∠ADB =∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB =ABBC【答案】D【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD⋅AC，∴ACAB =ABAD，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、ADAB =ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4.若锐角三角函数tan55∘=a，则a的范围是()A. 0<a<1B. 1<a<2C. 2<a<3D. 3<a<4【答案】B【解析】解：∵tan45∘=1，tan60∘=√3，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，∴tan45∘<tan55∘<tan60∘，即1<a<√3，则1<a<2，故选：B．由tan45∘=1，tan60∘=√3且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，知tan45∘<tan55∘< tan60∘，即1<a<√3，从而得出答案．本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值及tanα随∠α的增大而增大．5.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC)，若AB=4，则AC的长为()A. (6−2√5)B. (2√5−2)C. (√5−1)D. (3−√5)【答案】A【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，∴BC=√5−12AB=2(√5−1)cm，则AC=4−2(√5−1)=6−2√5，故选：A．根据黄金比值是√5−12计算即可．本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．6.抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标是()A. (3,5)B. (−3,5)C. (3,−5)D. (−3,−5)【答案】B【解析】解：∵y=2(x+3)2+5，∴抛物线顶点坐标为(−3,5)，辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版）故选：B．由抛物线的解析式可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k)．7.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x−3=0B. x2−x+1=0C. x2+2x+1=0D. x2=1【答案】B【解析】解：A、a=1，b=−2，c=−3，b2−4ac=4+12=16>0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；B、a=1，b=−1，c=1，b2−4ac=1−4=−3<0，没有实数根，故此选项正确；C、a=1，b=2，c=1，b2−4ac=4−4=0，有两个相等的实数根，故此选项错误；D、a=1，b=0，c=−1，b2−4ac=4>0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；故选：B．分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式(△=b2−4ac)判断方程的根的情况．此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．8.如果x2+x−1=0，那么代数式x3+2x2−7的值为()A. 6B. 8C. −6D. −8【答案】C【解析】解：由x2+x−1=0得x2+x=1，∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7，=x(x2+x)+x2−7，=x+x2−7，=1−7，=−6．故选：C．由x2+x−1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．9.如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为()A. 40mmB. 45mmC. 48mmD. 60mm【答案】C【解析】解：设正方形的边长为xmm，则AK=AD−x=80−x，3 / 16∵EFGH是正方形，∴EH//FG，∴△AEH∽△ABC，∴EHBC =AKAD，即x120=80−x80，解得x=48mm，故选：C．设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．10.受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是()A. 300(1+x)=450B. 300(1+2x)=450C. 300(1+x)2=450D. 450(1−x)2=300【答案】C【解析】解：设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：300(1+x)2=450．故选：C．设快递量平均每年增长率为x，根据我国2016年及2018年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程x2=9两根的积为______．【答案】−9【解析】解：∵x2=9，∴x=±3，∴两根的积−9．故答案为：−9首先根据一元二次方程求出x的两个值，将他们乘积即可．本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记解方程的方法是解答本题的关键．12.若xy =13，则x+yx−y=______．【答案】−2【解析】解：∵x y=13，∴设x=k、y=3k，则x+yx−y =k+3kk−3k=4k−2k=−2，故答案为：−2．辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版） 5 / 16 由x y =13可设x =k 、y =3k ，代入所求代数式消去k 即可得．本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握设k 法求比例式的值．13. 如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是______．【答案】4√3【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，则πr 2=4π，解得r =2，因为圆锥的主视图是等边三角形，所以圆锥的母线长为4，所以它的左视图的高=√42−22=2√3，所以左视图的面积为12×4×2√3=4√3．故答案为4√3．先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6,3)、B(6,0)，以原点O 为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为______．【答案】(2,1)【解析】解：∵以原点O 为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，A(6,3)、∴点C 的坐标为(6×13,3×13)，∴点C 的坐标为(2,1)，故答案为：(2,1)．根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．15. 已知△ABC 的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为______．【答案】122018【解析】解：由题意可得，第1个三角形的周长是1，第2个三角形的周长是12，第3个三角形的周长是12×12=122，第4个三角形的周长是122×12=123，则第2019个三角形的周长是122018，故答案为：122018．根据题意可以写出前几个三角形的周长，从而可以发现三角形周长的变化规律，进而写出第2019个三角形周长．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形周长的变化规律．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为______．【答案】54或5【解析】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90∘，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90∘∴B1D//AC∴BDAB=BEBC=DEAC=12∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D−DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+(2−BP)2，∴BP=5 4辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版）7 / 16如图，若点B 1在BC 右侧，∵B 1E =DE +B 1D =32+52，∴B 1E =4在Rt △EB 1P 中，B 1P 2=B 1E 2+EP 2，∴BP 2=16+(BP −2)2，∴BP =5故答案为：54或5分点B 1在BC 左侧，点B 1在BC 右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB =5，由平行线分线段成比例可得BD AB =BE BC =DE AC =12，可求BE ，DE 的长，由勾股定理可求PB 的长． 本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）17. 计算：4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘．【答案】解：原式=4×√32−3×√3+2×√22×√22=1−√3． 【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 解方程：x(x −2)+x −2=0．【答案】解：x(x −2)+x −2=0，(x −2)(x +1)=0，x −2=0，x +1=0，∴x 1=2，x 2=−1．【解析】把方程的左边分解因式得到(x −2)(x +1)=0，推出方程x −2=0，x +1=0，求出方程的解即可本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的选择等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）19. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 的中点为O ，过点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接AE 、CF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若AB =6，BC =8，请直接写出EF 的长为______．【答案】152【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC ∴∠ACB=∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO=CO，在△AOF和△COE中，{∠ACB=∠DAC AO=CO∠AOF=∠COE∴△AOF≌△COE(ASA)，∴OE=OF，且AO=CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形(2)∵四边形AECF是菱形∴AE=EC，AO=CO，EO=FO ∵AB2+BE2=AE2，∴36+(8−CE)2=CE2，∴CE=25 4∵AB=6，BC=8，∴AC=√AB2+BC2=10∴AO=CO=5∵EO=√CE2−CO2=154∴EF=2EO=15 2故答案为：152(1)由矩形的性质可得∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，即可证四边形AECF是菱形；(2)由菱形的性质可得AE=EC，AO=CO，EO=FO，由勾股定理可求CE、EO的长，即可求EF的长．本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．20.超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版） 9 / 16 【答案】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中它们总重量超过223g 的结果数为8，所以它们总重量超过223g 的概率为812=23．【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出它们总重量超过223g 的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．21. 如图是某路灯在铅垂面内是示意图，灯柱AC 的高为12米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A =120∘，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为21米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．【答案】解：过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG =AC =12．由题意得∠BDE =α，tan∠β=34．设BF =3x ，则EF =4x在Rt △BDF 中，∵tan∠BDF =BF DF ，∴DF =BF tan∠BDF =3x 6=12x ， ∵DE =21，∴12x +4x =21．∴x =143．∴BF =14，∴BG =BF −GF =14−12=2，∵∠BAC=120∘，∴∠BAG=∠BAC−∠CAG=120∘−90∘=30∘．∴AB=2BG=4，答：灯杆AB的长度为4米．【解析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG= AC=12.设BF=3x知EF=4x、DF=BFtan∠BDF，由DE=21求得x，据此知BG=BF−GF，再求得∠BAG=∠BAC−∠CAG=30∘可得AB=2BG．本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．22.如图，在平面直角坐标系中，点A(√3,1)在反比例函数y=kx的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．(1)求反比例函数y=kx的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60∘得到△BO1A1(点O、A的对应点分别为O1、A1)，点A1是否在反比例函数y=kx的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．【答案】解：(1)∵点A(√3,1)，在反比例函数y=kx的图象上，∴k=√3×1=√3∴反比例函数的表达式为y=√3x(2)∵点A(√3,1)，AB⊥x轴于点，∴OC=√3，AC=1，由射影定理得OC2=AC⋅BC，可得BC=3，点B(√3,−3)，∴S△AOB=12×(1+3)×√3=2√3故△AOB的面积为2√3(3)点E在该反比例函数的图象上.理由如下：∵OA⊥OB，OA=2，OB=2√3，AB=4∴sin∠ABO=OAAB =24=12，∴∠ABO=30∘辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版）11 / 16 ∵将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60∘得到△BDE ，如图 ∴△BOA≌△BDE ，∠OBD =60∘∴BO =BD =2√3，OA =DE =2，∠BOA =∠BDE =90∘∠ABD =30∘+60∘=90∘，而BD −OC =√3，BC −DE =1，∴点E 的坐标为(−√3,−1)∵−√3×(−1)=√3∴点E 在该反比例函数的图象上【解析】(1)将点A(√3,1)代入y =k x ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式(2)先由射影定理求出BC =3，那么B(√3,−3)，计算出S △AOB =12×(1+3)×√3=2√3(3)先解△AOB ，得出∠ABO =30∘，再根据旋转的性质求出E 点坐标为(−√3,−1)，即可求解．此题考查的是反比例函数的图象求函数解析式，此类题型相对容易，但要注意反比例函数的性质.第(3)题中，判断点是否在函数图象上，只要该点满足该函数解析式即可．23. 某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x(x >5)元，该店日销售利润为y 元.(日销售利润=每天的销售额−套餐成本−每天固定支出)(1)求y 与x 的函数关系式并写出自变量的取值范围．(2)该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？【答案】解：(1)由题意，得当5<x ≤10时，y =400(x −5)−600=400x −2600；当x >10时，y =[400−40(x −10)](x −5)−600=−40x 2+1000x −4600；(2)当5<x ≤10时，y =400x −2600，当x =10时，y 最大=1400元，当x >10时y =−40x 2+1000x −4600=−40(x −12.5)2+1650，当x =12时，y =1640，当x =13时，y =1640，∵要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，∴每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元．【解析】(1)根据日销售利润=每天的销售额−套餐成本−每天固定支出，得出y 与x 的函数关系式；(2)分别求出当不超过10元时的最大利润和超过10元时的最大利润，再结合题意选择方案．本题考查了一次函数的运用、二次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α(0∘<α<180∘)，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．(1)如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为______；(2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为______．(3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【答案】2−√334【解析】(1)解：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=1，∠D=90∘，∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，∴AE=AB=2，在Rt△ADE中，DE=√22−12=√3，∴CE=2−√3，故答案为2−√3．(2)①证明：如图②中，辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版） 13 / 16∵当点E 落在线段CF 上，∴∠AEC =∠ADC =90∘，在Rt △ADC 和Rt △AEC 中， {CD =AE AC=CA，∴Rt △ACD≌Rt △CAE(HL)；②解：如图②中，∵△ACD≌△CAE ，∴∠ACD =∠CAE ，∴AH =HC ，设AH =HC =m ，在Rt △ADH 中，∵AD 2+DH 2=AH 2，∴12+(2−m)2=m 2，∴m =54∴DH =2−54=34， 故答案为34．(3)解：存在．理由：如图③中，连接PA ，作BM ⊥PE 交PE 的延长线于M ．由题意：PF =PC =1，∵AG =EF =1，∠G =∠F =90∘，∴PA =PE =√2，∴S △PBE =12⋅PE ⋅BM =√22BM ， ∴当BM 的值最大时，△PBE 的面积最大，∵BM ≤PB ，PB ≤AB +PA ，∴PB ≤2+√2，∴BM ≤2+√2， ∴BM 的最大值为2+√2，∴△PBE 的面积的最大值为√2+1．(1)如图①中，在Rt △ADE 中，利用勾股定理即可解决问题；(2)①证明：如图②中，根据HL 即可证明△ACD≌△CAE ；②如图②中，由△ACD≌△CAE ，推出∠ACD =∠CAE ，推出AH =HC ，设AH =HC =m ，在Rt △ADH 中，根据AD 2+DH 2=AH 2，构建方程即可解决问题；(3)存在.如图③中，连接PA ，作BM ⊥PE 交PE 的延长线于M.由题意：PF =PC =1，由AG =EF =1，∠G =∠F =90∘，推出PA =PE =√2，推出S △PBE =12⋅PE ⋅BM =√22BM ，推出当BM 的值最大时，△PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题；本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25. 如图①，抛物线C 1：y =12x 2+bx +c 经过原点(0,0)，与x 轴的另一个交点为(2,0)，将抛物线C 1向右平移m(m >0)个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ．(1)求抛物线C 1的解析式．(2)如图②，当m =2时，连接AC ，过点A 做AD ⊥AC 交抛物线C 2于点D ，连接CD ．①求抛物线C 2的解析式．②直接写出点D 的坐标为______．(3)若抛物线C 2的对称轴上存在点P ，使△PAC 为等边三角形，请直接写出此时m 的值．【答案】(5,32)【解析】解：(1)∵抛物线C 1：y =12x 2+bx +c 经过原点(0,0)，与x 轴的另一个交点为(2,0)，∴{2+2b +c =0c=0，解得{c =0b=−1，∴抛物线C 1的解析式为：y =12x 2−x ，(2)①∵y =12x 2−x =12(x −1)2−12，辽宁省沈阳市皇姑区2018-2019年九年级（上）期末数学试卷（解析版） 15 / 16 当m =2时，抛物线C 2的解析式为：y =12(x −3)2−12， ②当x =0时，y =4，当y =0时，x =2或x =4，∴C(0,4)，A(2,0)，B(4,0)，如图，作DH ⊥x 轴于点H ，设点D(x,12(x −2)(x −4))，∵AD ⊥AC ，∴∠DAH =90∘−∠CAO =∠ACO ，∵∠DHA =∠AOC =90∘，∴△DHA∽△AOC∴DHAH =OA OC ，即12(x−2)(x−4)x−2=24， 解得x =5，此时y═12×3×1=32，∴点D 的坐标为(5,32)，故答案为：(5,32)，(3)由题意，抛物线C 2的解析式为：y =12(x −m)(x −m −2)，A(m,0)，B(m +2,0).C(0,12m 2+m)，对称轴为直线x =m +1，延长AP 至K ，使PK =AP ，连接KC ，作KG ⊥y 轴于G ，∵△PAC 为等边三角形，∴∠PKC =∠PCK =12∠APC =30∘， ∴∠ACK =60∘+30∘=90∘，同理可证△AOC∽△CGK ，∴OC KG =AC GK =√33， ∴GK =√3(12m 2+m)，即点K 的横坐标为：√3(12m 2+m)，∴点P 的横坐标为：√3(12m 2+m)+m 2， ∴√3(12m 2+m)+m2=m +1，化简，得√3m 2+(2√3−2)m −4=0，(m +2)(√3m −2)=0，∴m =2√33或m =−2(舍去)，∴存在点P ，使△PAC 为等边三角形，此时m 的值为2√33，(1)把原点(0,0)与(2,0)代入抛物线C 1：y =12x 2+bx +c ，解方程组求得b ，c 的值，即可得出抛物线C 1的解析式；(2)①根据抛物线的平移规律可得抛物线C 2的解析式；②由抛物线C 2的解析式，求得点C(0,4)，A(2,0)，B(4,0)，作DH ⊥x 轴于点H ，设点D(x,12(x −2)(x −4))，证明△DHA∽△AOC ，得DH AH =OA OC ，求得点D 的横坐标，再代入抛物线求得纵坐标，即可得出点D 的坐标；(3)设抛物线C 2的解析式为：y =12(x −m)(x −m −2)，可得A(m,0)，B(m +2,0).C(0,12m 2+m)，对称轴为直线x =m +1，延长AP 至K ，使PK =AP ，连接KC ，作KG ⊥y 轴于G ，证明△AOC∽△CGK ，可得GK =√3(12m 2+m)，利用中点坐标公式得出点P 的横坐标为：√3(12m 2+m)+m 2，所以√3(12m 2+m)+m 2=m +1，解方程即可得出m 的值． 本题考查用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质.解决(3)问的关键是构造三角形相似得出点K 的横坐标．。