三、全微分：
z
o()
(x)2 (y)2
d z f x (x, y)dx f y (x, y)dy
四、重要关系:
偏导数连续
函数可微
函数连续 偏导存在
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课堂练习
习题8-2. （P83） 1 求偏导数
(5) z ln tan x
y
(8) uarctan(xy)z
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
f1 f21
xv
f2 2
口诀 :
xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x
f 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 x
并有连续偏导数
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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F (x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
则
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例2. u f (x, y, z) e x2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x
2 xe x2
y2
z2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin 2 y) e x2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,
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第五节
第九章
隐函数的求导公式
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数 C > 0 时, 不能确定隐函数
2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
本节讨论:
一个方程所确定的隐函数 及其导数
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多元复合函数求导的链式法则：
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3
t tt
2) 中间变量是多元函数的情形. 例如,
z f (u, v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
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又如, z f (x, v) , v (x, y)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的 二阶导数 :
d y Fx d x Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) dy x Fy y Fy dx
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z)2 (2 z)3
x
2
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作业
P96：1，2，4，7. P100：2，5，7.
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
u v
z f (u, v)
z
uv tt
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有 u 0 , v 0 ,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
曲线
z
x2
4
y2
在点(2 4 5)处切线与正向x轴
y 4
所成的倾角是多少？
解：因为 z 2x x
x 4 2
故
4
z x
(2,4,5)
1 tan
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习题8-3. 1 求全微分
(3)
z
y x2 y2
解：因为
z
1
y(x2
y
2
)
3 2
xy
x 2
(x2 y2 )3/2
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ; ② F (0,0) 0;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
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dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex
cos y
y
x
d2y dx2 x 0
x 0 3
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定理2 . 若函数 F (x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;
② F (x0 , y0, z0 ) 0 ; ③ Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ,
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
yy y y
y
z y
1 tan
x
sec2
x y
x y2
2x y2
csc 2x y
y
(8) uarctan(xy)z
解
u x
z(x y)z1 1 (x y)2z
u y
z( 1
x y)z1 (x y)2z
u z
(x y)z ln(x 1 (x y)2z
y)
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5
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fx y
Fy Fy Fy2
y Fx
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx 2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x, y) sin y e x x y 1, 则
z y
x2 y2 y y
x2 y2 x2 y2
(x2
x2 y2 )3/2
xy
x2
dz (x2 y2 )3/2 dx (x2 y2 )3/2 dy
(x2
x y2 )3/2
(
ydx
xdy)
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第四节
第九章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则
本节内容: 多元复合函数求导的链式法则
f z
z y
xy
2yex2
y2
z
2
2
zex2
y2
z2
x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y ) e x2 y2 x4 sin 2 y
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例3. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
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一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
① 具有连续的偏导数;
的某一邻域内满足
则方程
② F (x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y
y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( e x y)(cos y x) (ex y) ( sin y y 1)
( cos y x )2
F (x, y) sin y ex xy 1 0
3
Fx e x y, Fy cos y x
x0